數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的意義

有一位初三的同學(xué)在知乎上問(wèn)及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，這引起了很多人的關(guān)注。這個(gè)階段的學(xué)生確實(shí)難以理解初中數(shù)學(xué)的實(shí)際用處，需要耐心解釋。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，意義何在？為什么數(shù)學(xué)是主科而理化是副科呢？

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么

小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)，可能看起來(lái)很簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)起來(lái)也挺快的。但實(shí)際上，每一個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，都意味著需要長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練與思考。下面將小學(xué)1-6年級(jí)的數(shù)學(xué)目錄，系統(tǒng)的給大家看看，一起了解知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的鏈接，同一知識(shí)點(diǎn)在不同學(xué)段的分布。

（一上）

1數(shù)一數(shù)

2比一比

3 1～5的認(rèn)識(shí)和加減法

4認(rèn)識(shí)物體和圖形

5分類

6 6～10的認(rèn)識(shí)和加減法數(shù)學(xué)樂園

7 11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)

8認(rèn)識(shí)鐘表

9 20以內(nèi)的進(jìn)位加法我們的校園

10總復(fù)習(xí)后記

（一下）

1位置

2 20以內(nèi)的退位減法

3圖形的拼組

4 100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)擺一擺，想一想

5認(rèn)識(shí)人民幣

6 100以內(nèi)的加法和減法（一）

7認(rèn)識(shí)時(shí)間小小商店

8認(rèn)識(shí)鐘表

9統(tǒng)計(jì)

（二上）

1長(zhǎng)度單位

2 100以內(nèi)的加法和減法（二）

3角的初步認(rèn)識(shí)

4表內(nèi)乘法（一）

5觀察物體

6表內(nèi)乘法（二）

7統(tǒng)計(jì)

8數(shù)學(xué)廣角

9總復(fù)習(xí)

（二下）

1解決問(wèn)題

2表內(nèi)除法（一）

3圖形與變換

4表內(nèi)除法（二）

5萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

6克與千克

7萬(wàn)以內(nèi)的加法和減法（一）

8統(tǒng)計(jì)

9找規(guī)律

10總復(fù)習(xí)

（三上）

1測(cè)量

2萬(wàn)以內(nèi)的加法和減法（二）

3四邊形

4有余數(shù)的除法

5時(shí)、分、秒

6多位數(shù)乘一位數(shù)

7分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)

8可能性

9數(shù)學(xué)廣角擲一擲

10總復(fù)習(xí)

（三下）

1位置與方向

2除數(shù)是一位數(shù)的除法

3統(tǒng)計(jì)

4年、月、日制作年歷

5兩位數(shù)乘兩位數(shù)

6面積

7小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

8解決問(wèn)題設(shè)計(jì)校園

9數(shù)學(xué)廣角

10總復(fù)習(xí)后記

（四上）

1大數(shù)的認(rèn)識(shí)1億有多大？

2角的度量

3三位數(shù)乘兩位數(shù)

4平行四邊形和梯形

5除數(shù)是兩位數(shù)的除法

6統(tǒng)計(jì)你寄過(guò)賀卡嗎？

7數(shù)學(xué)廣角

8總復(fù)習(xí)

附頁(yè)后記

（四下）

1四則運(yùn)算

2位置與方向

3運(yùn)算定律與簡(jiǎn)便計(jì)算營(yíng)養(yǎng)午餐

4小數(shù)的意義和性質(zhì)

5三角形

6小數(shù)的加法和減法

7統(tǒng)計(jì)

8數(shù)學(xué)廣角小管家

9總復(fù)習(xí)后記

（五上）

1小數(shù)乘法

2小數(shù)除法

3觀察物體

4簡(jiǎn)易方程量一量找規(guī)律

5多邊形的面積

6統(tǒng)計(jì)與可能性鋪一鋪

7數(shù)學(xué)廣角

8總復(fù)習(xí)

（五下）

1圖形的變換

2因數(shù)與倍數(shù)

3長(zhǎng)方體和正方體粉刷圍墻

4分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

5分?jǐn)?shù)的加法和減法

6統(tǒng)計(jì)打電話

7數(shù)學(xué)廣角

8總復(fù)習(xí)

（六上）

1位置

2分?jǐn)?shù)乘法

3分?jǐn)?shù)除法

4圓確定起跑線

5百分?jǐn)?shù)

6統(tǒng)計(jì)合理存款

7數(shù)學(xué)廣角

8總復(fù)習(xí)

（六下）

1負(fù)數(shù)

2圓柱與圓錐

3比例自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)

4統(tǒng)計(jì)

5數(shù)學(xué)廣角節(jié)約用水

6整理與復(fù)習(xí)

1）數(shù)與代數(shù)：數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)的運(yùn)算，式與方程，常見的量，比和比例，數(shù)學(xué)思考

2）空間與圖形：圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量，圖形與變換，圖形與位置

3）統(tǒng)計(jì)與概率

4）綜合應(yīng)用：有趣的平衡，設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，郵票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)學(xué)什么？

初中數(shù)學(xué)在我上學(xué)的時(shí)代還是分成代數(shù)和幾何兩門學(xué)科的。

代數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：代數(shù)與代數(shù)式、有理數(shù)、整式的加減、一元一次方程、二元一次方程組、不等式和不等式組、整式的乘法、因式分解、分式、數(shù)的開方、二次根式、一元二次方程、函數(shù)及其圖象、統(tǒng)計(jì)初步。

幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：線段與角、平行與相交、三角形、四邊形、相似性、解直角三角形、圓。

數(shù)學(xué)的難度極速提升是在初二上學(xué)期。由于因式分解和三角形的解題對(duì)模式化和技巧性要求很高，學(xué)生需要不少枯燥的訓(xùn)練，同時(shí)需要一定的觀察力，成績(jī)拉開是在這個(gè)階段，不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)興趣喪失也是在這個(gè)階段。

初中新課程：

有理數(shù)、整式的加減、一元一次方程、幾何圖形；

相交線與平行線、實(shí)數(shù)、平面直角坐標(biāo)系、二元一次方程、不等式和不等式組；

三角形、全等三角形、軸對(duì)稱、整式的乘法與因式分解、分式；

二次根式、勾股定理、平行四邊形、一次函數(shù)、數(shù)據(jù)的分析；

一元二次方程、二次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步；

反比例函數(shù)、相似、銳角三角函數(shù)、投影和視圖。

新課程加了許多新內(nèi)容，深度也增加了，很多內(nèi)容也重新編排了先后順序。

高中數(shù)學(xué)學(xué)什么？

高中老課程：

集合與簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、直線和圓的方程、圓錐曲線、立體幾何、排列與組合、概率與統(tǒng)計(jì)、極限、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)。

高中新課程：

必修：集合與函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用、平面幾何體、空間關(guān)系、直線方程、圓方程、算法、統(tǒng)計(jì)、概率、三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換、解三角形、數(shù)列、不等式

文科選修：簡(jiǎn)易邏輯、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計(jì)應(yīng)用、推理證明方法、復(fù)數(shù)、框圖

理科選修：簡(jiǎn)易邏輯、圓錐曲線、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)、推理證明方法、計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量、統(tǒng)計(jì)。

其他的自選課（除了很厲害的學(xué)校，基本不會(huì)上）：數(shù)學(xué)史、球面幾何、對(duì)稱與群論、幾何證明、矩陣運(yùn)算、坐標(biāo)系和參數(shù)方程、不等式（"花式"不等式）、初等數(shù)論、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)決策、布爾代數(shù)。

不得不說(shuō)，新課程的自選課非常新穎。

中學(xué)課程與大學(xué)課程的銜接：

數(shù)學(xué)可以簡(jiǎn)單地進(jìn)行大致歸類：代數(shù)、幾何、分析和數(shù)論。

如果不是數(shù)學(xué)系的大學(xué)生，一般在本科會(huì)學(xué)到高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)這三門課程中的兩到三門。高等數(shù)學(xué)就屬于分析范疇，線性代數(shù)顯然屬于代數(shù)范疇，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)范疇，但需要分析和代數(shù)工具。幾何和數(shù)論一般只有數(shù)學(xué)系和少數(shù)專業(yè)學(xué)習(xí)。

中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，這就是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的意義所在。這個(gè)結(jié)論如此簡(jiǎn)單明白，以至于幾乎不需要論證。不過(guò)還是大致梳理一下中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，以及它們?nèi)绾螛?gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，先說(shuō)代數(shù)和分析：

小學(xué)我們計(jì)算都是數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果就是一個(gè)數(shù)，所以學(xué)的都是數(shù)的運(yùn)算法則。到了中學(xué)，我們想用一個(gè)可以做萬(wàn)金油的字母代替所有數(shù)，所以引入的代數(shù)式。這是一種語(yǔ)言體系的轉(zhuǎn)換，我們使得運(yùn)算更加一般化了。引入代數(shù)式之后出現(xiàn)了數(shù)系的擴(kuò)充。a-b(a<b，a和b都是整數(shù))引出了負(fù)數(shù)，a/b(a<b,b≠0，a和b都是整數(shù))引出了分?jǐn)?shù)。所以我們把原來(lái)的整數(shù)擴(kuò)展為有理數(shù)。這是另一種語(yǔ)言體系的轉(zhuǎn)換，我們使得運(yùn)算的范圍擴(kuò)大了。

然后我們開始學(xué)習(xí)整式的加減和乘法，并且學(xué)了整式乘法的逆運(yùn)算——因式分解，并且從另一條主線上，我們也學(xué)習(xí)了由整式構(gòu)成的方程，一元一次方程、二元一次方程和不等式。整式也能夠做除法，變成分式，同時(shí)也可以做分式方程。但是，在解一元二次方程時(shí)遇到了x^2=a(a>0)的情況，原來(lái)的語(yǔ)言體系不好用了，所以引入了數(shù)的開方運(yùn)算，引入了無(wú)理數(shù)，將數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)領(lǐng)域，以及代數(shù)式的形式——根式，這樣就解決了解一元二次方程的問(wèn)題。我中考時(shí)，數(shù)學(xué)只考一元二次方程、函數(shù)和統(tǒng)計(jì)初步，因?yàn)橐辉畏匠毯秃瘮?shù)涉及到所有之前學(xué)到的代數(shù)知識(shí)，所以前面講的內(nèi)容就沒必要考了。

學(xué)了好了基本的運(yùn)算（加減乘除和開方）以后，引入了函數(shù)。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的概念之一，也是分析學(xué)的研究對(duì)象，因此它是中學(xué)數(shù)學(xué)最核心的知識(shí)。而函數(shù)的知識(shí)，在日常生活中幾乎是用不到的，這個(gè)概念在近代數(shù)學(xué)在真正被提出來(lái)，在18-19世紀(jì)才有真正嚴(yán)格化的理論，更高級(jí)和嚴(yán)格的理論20世紀(jì)才產(chǎn)生。但是幾乎所有的數(shù)學(xué)理論和科學(xué)理論都是建構(gòu)在這個(gè)大廈之上。

專業(yè)學(xué)習(xí)離不開學(xué)習(xí)高深的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)系的每個(gè)專業(yè)都需要高深的數(shù)學(xué)。就北大數(shù)學(xué)學(xué)院而言，就有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和金融數(shù)學(xué)兩個(gè)方向），統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)（統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論兩個(gè)方向）和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)（計(jì)算數(shù)學(xué)和信息科學(xué)兩個(gè)方向）。所有的專業(yè)都必修的課：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程、抽象代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論和數(shù)學(xué)模型。另外，每個(gè)方向會(huì)在各自領(lǐng)域進(jìn)行不同程度的深化學(xué)習(xí)。

物理系的各個(gè)專業(yè)都需要高深的數(shù)學(xué)。物理系的四大力學(xué)（理論力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)）充滿了數(shù)學(xué)，甚至可以說(shuō)完全就是應(yīng)用數(shù)學(xué)課。此外，還有數(shù)學(xué)物理方法課程，同樣是應(yīng)用數(shù)學(xué)課。所以，物理系（包括天體物理、天文學(xué)專業(yè)）需要用到的數(shù)學(xué)比一般的理科專業(yè)要多。具體需要多少還是跟方向相關(guān)，不同專業(yè)可能涉及到實(shí)變函數(shù)、抽象代數(shù)、偏微分方程甚至黎曼幾何。

計(jì)算機(jī)專業(yè)需要高深的數(shù)學(xué)。除了高數(shù)、線代和概統(tǒng)之外，至少還需要集合論和圖論，數(shù)理邏輯，算法分析、代數(shù)結(jié)構(gòu)、組合數(shù)學(xué)、數(shù)值方法等專業(yè)的數(shù)學(xué)課程來(lái)為計(jì)算機(jī)語(yǔ)言邏輯和數(shù)字技術(shù)打基礎(chǔ)。

化學(xué)專業(yè)需要一定程度的高深數(shù)學(xué)，跟方向關(guān)聯(lián)較大。至少化學(xué)分析需要基本的統(tǒng)計(jì)學(xué)，結(jié)構(gòu)化學(xué)需要量子力學(xué)的知識(shí)，而學(xué)好量子力學(xué)的前提是學(xué)好線性代數(shù)和偏微分方程。此外樓上有答主說(shuō)，還涉及群論的內(nèi)容。

工科專業(yè)幾乎所有都是以數(shù)學(xué)、物理學(xué)（或化學(xué)、生物學(xué)）和計(jì)算機(jī)作為其理論基礎(chǔ)的，數(shù)學(xué)要求自然是比較高的，尤其是涉及物理的相關(guān)專業(yè)，比如機(jī)械、電機(jī)、電子、土木、水利等專業(yè)，對(duì)數(shù)學(xué)的要求非常高。

經(jīng)濟(jì)學(xué)（包括會(huì)計(jì)和管理）專業(yè)需要一定程度的高深數(shù)學(xué)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的靈魂，只有涉及數(shù)學(xué)方法的經(jīng)濟(jì)學(xué)探討才是真正意義上的學(xué)術(shù)探討。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)幾乎就可以翻譯成經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)，本身就是數(shù)學(xué)方法課程。

金融學(xué)專業(yè)除了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)之外，還需要學(xué)習(xí)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，至少涉及隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)和金融數(shù)值方法之類的數(shù)學(xué)課程。

社會(huì)學(xué)專業(yè)也有專門的社會(huì)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法課程，自然是涉及概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)，那也自然而然需要高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)。生物學(xué)和醫(yī)學(xué)專業(yè)也有專門的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方法課程，自然也需要高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)。

講究點(diǎn)的哲學(xué)專業(yè)，恐怕也都需要對(duì)數(shù)學(xué)的基本了解，畢竟現(xiàn)代哲學(xué)一大流派是分析哲學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)基礎(chǔ)的研究恐怕連數(shù)學(xué)專業(yè)都望塵莫及呢。

完全不涉及數(shù)學(xué)的專業(yè)，恐怕也只有文學(xué)專業(yè)、歷史專業(yè)、外語(yǔ)專業(yè)和政法專業(yè)。然而政治專業(yè)從來(lái)都沒辦法脫離經(jīng)濟(jì)學(xué)看問(wèn)題，還是多多少少會(huì)涉及一些經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)；法律專業(yè)有一個(gè)方向叫知識(shí)產(chǎn)權(quán)法，需要從業(yè)者不僅熟悉法律本身，還要對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)相關(guān)專業(yè)有所了解，而這些專業(yè)往往都是理科專業(yè)。

數(shù)學(xué)對(duì)于非數(shù)學(xué)工作者意味著什么？

我們從小學(xué)開始，一直在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一直到大學(xué)還在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)教會(huì)我們計(jì)算，這是數(shù)學(xué)當(dāng)中最有用的部分，每個(gè)人都在用，每個(gè)人都會(huì)在生活中應(yīng)用，因?yàn)橛H切直觀。到了初中以后，數(shù)學(xué)逐漸越來(lái)越失去它的直觀性，開始露出它本來(lái)的面目——抽象，而且越學(xué)越復(fù)雜，越學(xué)越抽象。我們不清楚學(xué)習(xí)這么復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)有什么意義。

對(duì)于非數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種書面語(yǔ)，跟中文、外語(yǔ)的書面語(yǔ)一樣，是一種表達(dá)方式。通過(guò)這種表達(dá)方式，我們可以把一個(gè)科學(xué)理論嚴(yán)格化、抽象化，使它更容易被理解和使用。沒錯(cuò)，是更容易被理解；但是對(duì)于不懂這門語(yǔ)言的人，就會(huì)覺得跟天書一般。

相對(duì)的，數(shù)學(xué)跟外語(yǔ)一樣，也是認(rèn)識(shí)世界的一種方式。原來(lái)無(wú)法解決的科學(xué)問(wèn)題，往往通過(guò)新的數(shù)學(xué)方法就迎刃而解，比如微積分、矩陣、群論、非歐幾何，就把原來(lái)看來(lái)極其復(fù)雜的問(wèn)題變得非常容易解釋。而對(duì)于不懂這門語(yǔ)言的人，就無(wú)法進(jìn)入這個(gè)繽紛多彩的世界。（比如好多人對(duì)量子力學(xué)感興趣，但是沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就很難深入其中了）

至于為什么數(shù)學(xué)是主科，物理化學(xué)生物是副科？原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲目撇豢祭砘槭裁次目撇豢祭砘恳驗(yàn)榇髮W(xué)文科專業(yè)幾乎不學(xué)理化生！