AMC10/12高頻考點，附對應真題解析

2022AMC10/12剩不足1個月開考，目前已進入備戰的最后沖刺期。AMC特點是不重復往年考題，21-25題風格新穎、靈活多變、出其不意，是拉開差距的關鍵。晉級的關鍵并非后面的難題，如果保證前15道題都對，15-20能做對3道，晉級AIME基本穩了。因此要保證中等難度以下的知識點和習題都能掌握。

AMC10/12的高頻考點

AMC10/12試題主要分為4個模塊的知識點：代數、幾何、數論、組合。

代數與幾何的考察比重較大，占比60%以上。其中代數主要考察的內容有代數計算、多項式、方程等，幾何主要考察三角形與四邊形。

數論是每年的必考點，考察比重逐漸加大，內容包括整除、分解質因數、指數冪等。

國內學生在組合知識的掌握相對薄弱，乘法原理、排列數與組合數、插空法等是主流考法，每年還會有染色問題、棋盤問題等新穎考法。

代數

AMC10 代數考點歸納

多項式，余數定理，韋達定理，根與系數的關系，特殊高次方程、進階不等式，均值不等式等

AMC12 代數考點歸納（在AMC10基礎上新增以下重點知識）

復雜不等式、調和不等式、輪換不等式、柯西不等式；復雜函數問題，反函數和符合函數等

AMC10 代數重點考察方程、函數和數列；

AMC12 代數考察更加均衡，需要全面準備。

真題例題：

解析：

在這個題里面，N和M雖然實際上是確定的數，但是以未知數的形式出現的。要先根據條件列出一個不定方程，因為不定方程在限定條件是可能有唯一解或者有限定個數的解的，題中N和M都是整數，N>2M和M>4，這些限定條件排除了不可能的解，剩下的就是我們要的解。

幾何

AMC10 幾何考點歸納

三角形、正弦定理、余弦定理、內切圓和外切圓、斯圖瓦爾特定理、共點和共線、圓和四邊形，四點共圓，圓的外切四邊形、正多邊形等

AMC12 幾何考點歸納（在AMC10基礎上新增以下重點知識）

解析幾何、圓的進階知識、圖形的函數表達（二維及三維）、不規則二維及三維圖形、向量（二維及三維）等

AMC10 幾何重點考察三角形（全等&相似）；

AMC12 幾何重點考察三角形、圓、解析幾何。

真題例題：

解析：

從圖形上來看，一個正方形被兩條直線分割成了4塊，我們注意到其中3塊都是三角形，所以我們只要知道這3個三角形的面積比例，不規則四邊形AFED也就知道了，答案自然而然就出來了。

組合

AMC10 組合考點歸納

容斥原理、二項式定理、排列、組合和概率、期望

AMC12 組合考點歸納（在AMC10基礎上新增以下重點知識）

隨機過程和期望、綜合問題

AMC10 組合重點考察計數和概率；

AMC12 組合重點考察計數。

真題例題：

解析：

首先，五個頂點我們視為不同的，所以對它們的涂色是有順序的。關鍵是要把順序排列好，還要把情況分解好。我們用下面的樹形圖來表示。把每一個分支的計數算出來，最后加和就是總數了。

數論

AMC10 數論考點歸納

數，數組和序列、同余和同余方程、整數、分數和小數，進制轉換

AMC12 數論考點歸納（在AMC10基礎上新增以下重點知識）

二次余數，高次余數、費馬小定理、各類丟番圖方程

AMC10 數論重點考察因數、倍數、質數、合數、整除分析、同余分析；

AMC12 數論重點考察質因數分解、同余。

真題例題：

解析：

這個題的正規解題方法要用到費馬小定理和中國余數定理，如果能掌握這些當然很高超。但是即使不會這兩個定理，也可以用幾次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，進行解答。

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