2025年已經(jīng)進(jìn)入最后一個(gè)月倒計(jì)時(shí)了，除了正在為明年1月份AMC8比賽全力備戰(zhàn)的學(xué)生之外，也有不少先知先覺(jué)的家長(zhǎng)已經(jīng)在為孩子規(guī)劃26年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)奏了。
數(shù)學(xué)怎么學(xué)、競(jìng)賽怎么打？
學(xué)霸如何施展才華、普娃如何彎道超車(chē)？
昨天，小林和翰林的一位金牌導(dǎo)師做了一場(chǎng)“聊天”，這場(chǎng)聊天源于這位導(dǎo)師閑聊時(shí)說(shuō)的一句話(huà)：
“我?guī)У母啐g學(xué)生中，低齡學(xué)過(guò)競(jìng)賽的和沒(méi)學(xué)過(guò)競(jìng)賽比，思維差距真的太大了。”
說(shuō)這句話(huà)的就是翰林?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科金牌導(dǎo)師——郭勉之老師！
● 北京大學(xué)碩士畢業(yè)，國(guó)際教育行業(yè)已有六年多工作經(jīng)驗(yàn)，累計(jì)授課時(shí)長(zhǎng)超過(guò)9000小時(shí)。
●高中數(shù)學(xué)教師資格證以及各類(lèi)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)證，AMC官方授予優(yōu)秀教練證書(shū)，AP官方認(rèn)證教師。
●美國(guó)AMC12/10/8競(jìng)賽學(xué)生進(jìn)復(fù)賽以及獲獎(jiǎng)率平均超過(guò)65%。
2023年，郭老師有近30個(gè)學(xué)生晉級(jí)AIME，基本都是前5%或1%，獲獎(jiǎng)率超過(guò)70%，可以說(shuō)真的是拿獎(jiǎng)拿到手軟。
然而有趣的是，郭老師說(shuō)這些拿獎(jiǎng)的學(xué)生并不像我們想象的那樣天賦異稟，甚至她曾經(jīng)帶過(guò)的眾多獲獎(jiǎng)選手中，有些還曾經(jīng)是班里的“倒數(shù)”。
拿獎(jiǎng)的學(xué)生都有哪些特質(zhì)？
她是如何讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“逆襲”的？
為什么她如此看重低齡段的競(jìng)賽學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？
小林和郭老師談了1個(gè)半小時(shí)，以下這些干貨你千萬(wàn)不能錯(cuò)過(guò)。
北大才女到“教書(shū)匠”
她有什么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)秘訣
Q、您是北大畢業(yè)的，當(dāng)時(shí)讀的是什么專(zhuān)業(yè)？
為什么后來(lái)選擇當(dāng)老師呢？
當(dāng)時(shí)讀的是芯片和微電子專(zhuān)業(yè)，不過(guò)其實(shí)很早以前我就對(duì)老師這行很向往。
一方面是因?yàn)槲易约河龅搅撕玫臄?shù)學(xué)老師，對(duì)我的影響很大；另一方面因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)成績(jī)好，同學(xué)都愿意課間來(lái)問(wèn)我題目，我也樂(lè)于分享自己的方法和技巧，可能從那時(shí)就種下了當(dāng)老師的種子了吧。
Q、您剛剛說(shuō)到以前上學(xué)的時(shí)候數(shù)學(xué)就很好，那你當(dāng)時(shí)有什么學(xué)習(xí)的“竅門(mén)”嗎？
其實(shí)也談不上什么竅門(mén)，我覺(jué)得一是自己?jiǎn)栕约骸皩W(xué)的這個(gè)東西能怎么用”，自己想辦法去找更多應(yīng)用的場(chǎng)景；二是我總是喜歡琢磨有沒(méi)有更簡(jiǎn)單更巧妙的辦法，覺(jué)得不夠簡(jiǎn)潔我會(huì)再找。其實(shí)在做這兩件事兒的過(guò)程中數(shù)學(xué)會(huì)給我?guī)?lái)很大的樂(lè)趣。
Q、您是從體制內(nèi)體系一路學(xué)上來(lái)的，現(xiàn)在教的都是國(guó)際學(xué)校的孩子，感覺(jué)體制外的孩子學(xué)數(shù)學(xué)有什么不同嗎？
其實(shí)學(xué)習(xí)的方法倒沒(méi)有很大區(qū)別，但是體制外的孩子自我意識(shí)比較強(qiáng)，他們經(jīng)常會(huì)問(wèn)我類(lèi)似“老師，學(xué)三角函數(shù)只能用來(lái)做題嗎？”這樣的問(wèn)題。
雙曲函數(shù)
所以我在課上一般會(huì)稍稍拓展一下，跟他們將一些補(bǔ)充知識(shí)，比如說(shuō)雙曲函數(shù)看上去很抽象，我會(huì)向他們介紹說(shuō)“達(dá)芬奇創(chuàng)作《抱銀鼠的女子》這幅畫(huà)的時(shí)候，為了能讓人物脖子上的項(xiàng)鏈曲線(xiàn)更真實(shí)，請(qǐng)教了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家，后來(lái)雅各布等數(shù)學(xué)家最終研究出了雙曲函數(shù)的
coshx，這個(gè)問(wèn)題才得到解決。”。
達(dá)芬奇名作《抱銀鼠的女子》
故事不但能調(diào)節(jié)課堂氣氛，也能讓學(xué)生知道所學(xué)的內(nèi)容原來(lái)是跟實(shí)際生活有關(guān)聯(lián)的，自然也會(huì)更主動(dòng)去學(xué)。
“逆襲拿獎(jiǎng)如喝水”
金牌教練說(shuō)天賦沒(méi)那么重要
Q、我們經(jīng)常說(shuō)數(shù)學(xué)是很看天賦的學(xué)科，甚至很多家長(zhǎng)覺(jué)得打競(jìng)賽就是拼天賦，你帶過(guò)這么多學(xué)生，同意這個(gè)觀點(diǎn)嗎？
其實(shí)我覺(jué)得，大部分我們熟悉的競(jìng)賽都還沒(méi)到談?wù)撎熨x的地步，尤其是低齡階段的競(jìng)賽。比如AMC8這樣的比賽，普通天賦拿1%沒(méi)大家想象的那么難，靠努力完全可以達(dá)成。
而且我覺(jué)得，競(jìng)賽的作用不僅僅是拿個(gè)獎(jiǎng)，它是很好的促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段。
我自己帶的第一個(gè)學(xué)生就是一個(gè)很好的例子！
當(dāng)時(shí)這個(gè)孩子來(lái)的時(shí)候數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诎嗉?jí)靠后，但其實(shí)孩子學(xué)習(xí)的意愿還是很強(qiáng)的。我就帶著他一點(diǎn)一點(diǎn)地補(bǔ)漏洞，慢慢地他逐漸找到自己的學(xué)習(xí)方法和節(jié)奏了，說(shuō)要參加澳洲AMC的競(jìng)賽 ，而且通過(guò)短期學(xué)習(xí)就拿下了3等獎(jiǎng)。并且他發(fā)現(xiàn)同班那些成績(jī)平時(shí)比他好很多的同學(xué)甚至都拿不到獎(jiǎng)，信心馬上就上來(lái)了，接下去的課內(nèi)學(xué)習(xí)也比以前更順了。
Q、這樣的案例是個(gè)案還是普適情況？
像這樣的例子，我覺(jué)得我手頭至少有近40%是這樣的，真的不是什么個(gè)案。
其實(shí)很多孩子都有很大的進(jìn)步空間，只要他們意識(shí)到“其實(shí)我還不錯(cuò)”，主動(dòng)性一上來(lái)，成績(jī)上得就非常快，打競(jìng)賽出成績(jī)也不是什么奢望了。
Q、那我挺好奇，你是用什么方法幫助這些普通學(xué)生拿到想要的競(jìng)賽結(jié)果呢？
我覺(jué)得大家可以把打競(jìng)賽理解為爬山，你想一想，如果你面前的山連路都沒(méi)有，可能很多人完全不知道從哪里去爬，這就是很多我看到的“后進(jìn)生”的困境，目標(biāo)就像高山一樣，可又看不到路徑，自然覺(jué)得沒(méi)希望了。
另一種情況，就算你有一條路，但是臺(tái)階很高，你每爬一步都要花費(fèi)很大的力氣，那爬幾級(jí)臺(tái)階就會(huì)很累爬不動(dòng)了，這種就是臺(tái)階設(shè)置得不合理。
所以我們翰林的老師上課一般都不會(huì)只找本宣科，比如我上課的時(shí)候會(huì)關(guān)注課上學(xué)生的反饋。如果我發(fā)現(xiàn)學(xué)生跟的很累，那我就會(huì)“降低臺(tái)階高度”，最佳狀態(tài)就是“小步長(zhǎng)期”，孩子可能都感覺(jué)不到累，但其實(shí)一直在往上爬，最終登上山頂就不那么難了
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一年帶出30個(gè)AIME晉級(jí)
她說(shuō)數(shù)學(xué)好的學(xué)生有這些特質(zhì)
Q、2023年，你有30多個(gè)學(xué)生晉級(jí)了AIME，你覺(jué)得這些晉級(jí)AIME的學(xué)生都有什么特點(diǎn)呢？
首先我覺(jué)得數(shù)學(xué)競(jìng)賽想要獲得好成績(jī)，必須具備三個(gè)條件！
第一：知識(shí)學(xué)到位
所謂“巧婦難為無(wú)米之炊”，再聰明再有天賦，基本概念都沒(méi)學(xué)好，就不用想競(jìng)賽得獎(jiǎng)這事兒了，老老實(shí)實(shí)補(bǔ)知識(shí)最重要。
第二：課后勤練習(xí)
我們知道越高水平得競(jìng)賽題越少套路，因此觸類(lèi)旁通的能力就很重要了。這種能力怎么來(lái)，其實(shí)天賦不是最重要的，練習(xí)才是。
因?yàn)榫毩?xí)的過(guò)程中你才能加深對(duì)問(wèn)題的理解，才能豐富你自己的解題“武器庫(kù)”就越來(lái)越多了，什么情況用哪個(gè)武器就很清楚了。遇到新問(wèn)題才能更快找到切入口。
第三：會(huì)時(shí)間管理
這是最容易被忽略的一個(gè)點(diǎn)，就拿AMC系列來(lái)說(shuō)，AMC8是40分鐘、AMC10是75分鐘，其實(shí)時(shí)間都是非常緊張的。
很多孩子來(lái)的時(shí)候說(shuō)自己AMC8套卷能做到23、24分，但其實(shí)要花2、3個(gè)小時(shí)，真壓縮在40分鐘發(fā)現(xiàn)只有15、16分了，這種情況實(shí)在太多。
除了這三個(gè)條件外，我發(fā)現(xiàn)這些能拿獎(jiǎng)的學(xué)生無(wú)一例外都有一個(gè)特點(diǎn)——從小學(xué)就開(kāi)始打競(jìng)賽了。
Q、這其實(shí)就回到我們經(jīng)常說(shuō)的“競(jìng)賽規(guī)劃”這個(gè)話(huà)題上了，你覺(jué)得低齡階段有必要打競(jìng)賽嗎？
有人說(shuō)低齡競(jìng)賽如果不是小升初，其實(shí)也沒(méi)什么用？
我還是非常推薦低齡孩子多去參加一下競(jìng)賽的，尤其是好好學(xué)一學(xué)競(jìng)賽。
從我?guī)У倪@些出成績(jī)的學(xué)生來(lái)看，他們拿獎(jiǎng)，天賦其實(shí)更多是起到輔助作用，主要靠得是積累。尤其是一些思維能力，都是需要長(zhǎng)期養(yǎng)成的。
具體來(lái)說(shuō)我覺(jué)得是這些能力：
1.抽象能力
2.邏輯推理能力
3.歸納總結(jié)能力
4.聯(lián)想遷移能力
5.發(fā)散和想象力
6.目標(biāo)導(dǎo)向推理能力
比如說(shuō)你要測(cè)一座山的高度，你要先把它抽象成一個(gè)三角形，然后應(yīng)用三角形相關(guān)的特性去對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和推理，最后得出你的結(jié)論，這就是基本的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。
如果是打競(jìng)賽，后面三種能力的要求就會(huì)很高，尤其是最后一個(gè)能力，我的很多學(xué)生遇到新題和難題會(huì)懵，這時(shí)候我就會(huì)問(wèn)：
“這個(gè)題目問(wèn)什么？”
“我現(xiàn)在需要什么？哪些是已經(jīng)有的條件、哪些需要去找？”
“需要找的東西怎么得到？有哪些條件還能用？”
... ...
有了這樣的思維習(xí)慣，遇到難題至少就知道怎么下手了！這也是我?guī)W(xué)生時(shí)，學(xué)過(guò)競(jìng)賽和沒(méi)學(xué)過(guò)競(jìng)賽之間最大的差別。
Q、那這些思維能力里，你覺(jué)得哪些是天賦決定的，哪些是可以后天訓(xùn)練的？
這些能力中，其實(shí)大部分都可以通過(guò)后天培養(yǎng)的，只不過(guò)就像剛才說(shuō)的，要靠長(zhǎng)期持續(xù)的練習(xí)去落實(shí)。
而且競(jìng)賽對(duì)于后面三項(xiàng)能力的訓(xùn)練效果也是非常明顯的，比如聯(lián)想遷移能力，我們會(huì)覺(jué)得這個(gè)能力和天賦關(guān)系比較大，確實(shí)天賦很重要，但這個(gè)能力后天也是可以提升的，只是花的時(shí)間更多一些。
我們知道競(jìng)賽的題不像國(guó)際課程校內(nèi)的題，往往非常靈活多變，可以說(shuō)打競(jìng)賽就是不斷地和新題型在接觸，這個(gè)過(guò)程中其實(shí)會(huì)“逼”著孩子不斷思考、對(duì)比、總結(jié)，久而久之聯(lián)想和遷移能力也就提高了。
而且這些能力不只是學(xué)數(shù)學(xué)、打競(jìng)賽有用，對(duì)于未來(lái)的工作、尤其是做管理做決策的時(shí)候會(huì)非常有用，很多厲害的企業(yè)家小時(shí)候打競(jìng)賽也都非常牛！
整個(gè)采訪中，“積累”兩個(gè)字也許是郭老師提及最多的。在跟她的溝通過(guò)程中，小林發(fā)現(xiàn)其實(shí)我們對(duì)于孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)劃的焦慮，其實(shí)是源于邏輯反了！
我們往往會(huì)想當(dāng)然覺(jué)得天賦決定結(jié)果，于是總是糾結(jié)于孩子到底有沒(méi)有天賦、值不值得投入時(shí)間和精力。然而，從郭老師的描述和她的“戰(zhàn)績(jī)”中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)競(jìng)賽的結(jié)果其實(shí)是靠逐漸積累出來(lái)的，而不是天賦事先決定的。
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