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2024年AIME I競賽真題及答案免費(fèi)領(lǐng)！AIME數(shù)學(xué)競賽考情分析

Category: AMC美國數(shù)學(xué)競賽, 國際競賽, 翰林嚴(yán)選 Date: 2024年2月6日下午3:03

今年AIME I 落幕！為了幫助大家回顧考題翰林在官方解禁后第一時(shí)間整理了這些材料：

2024年AIME I 數(shù)學(xué)競賽真題+答案掃碼免費(fèi)領(lǐng)取！

一起來看看翰林金牌數(shù)學(xué)導(dǎo)師——張老師的分析吧！

2022年11月AMC及AIME戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計(jì)）:

AMC10/12輔導(dǎo)晉級(jí)AIME人數(shù)51+，其中前1% DHR11名，最高分滿分150；AIME10分+學(xué)員7名,7分+學(xué)員11名。其中13分兩人，12分一人，11分兩人，10分兩人。5名學(xué)員達(dá)到USA/JMO分?jǐn)?shù)線，三名學(xué)員分別實(shí)際晉級(jí)USAMO和USAJMO。

2021年11月AMC及AIME戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計(jì)）:

AMC10/12輔導(dǎo)晉級(jí)AIME人數(shù)29+，其中AMC10 DHR兩名，AMC12 DHR三名，最高分滿分150；AIME 10分+ 學(xué)員四名，七分+學(xué)員12名。其中13分一人，11分三人，9分、8分各兩人。5名學(xué)員達(dá)到USA/JMO分?jǐn)?shù)線，兩名學(xué)員分別實(shí)際晉級(jí)USAMO和USAJMO。

夏校戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計(jì)）：

2023年：所帶AMC學(xué)員中，七名申請美國頂級(jí)數(shù)學(xué)夏校ROSS Mathematics Program，其中三名拿到offer，兩名拿到waiting list，兩名申請Stanford數(shù)學(xué)夏校SUMAC的學(xué)生均拿到offer，四名申請Awesomemath的學(xué)生全部拿到offer；

2022年：所帶所帶AMC學(xué)員中，四名申請美國頂級(jí)數(shù)學(xué)夏校ROSS Mathematics Program的學(xué)生兩名拿到offer，一名申請Stanford數(shù)學(xué)夏校SUMAC的學(xué)生拿到offer，五名申請Awesomemath Level3,4的學(xué)生全部拿到offer。

AIME I考情分析

1整體難度分析

今年AIME?I的難度相較去年有所降低，整體沒有特別難的問題，但個(gè)別題目的運(yùn)算量或討論的過程還是有相當(dāng)?shù)膹?qiáng)度和密度，這也是AIME這個(gè)比賽一貫以來的特征。

2考點(diǎn)分析

從題目考點(diǎn)的分布上，這次AIME數(shù)論、代數(shù)、幾何、組合四個(gè)板塊的題目數(shù)量分別為2道，5.5道，4.5道，和3道，基本和歷史上四個(gè)板塊大致占總題量的比例相當(dāng)，代數(shù)和幾何仍然是AMC、AIME這類Pre-MO級(jí)別比賽的重點(diǎn)，大家對(duì)題目背后的基本數(shù)學(xué)概念及相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)、結(jié)論都是比較熟悉的，更容易上手也是拿分的關(guān)鍵，而數(shù)論和組合這兩部分的題一般更具有數(shù)競的專業(yè)性，每年一共在5-6題左右，兩邊各占2-3題。

3代數(shù)部分

這次的代數(shù)題目分別為Q1，Q2，Q7，Q9，Q12，Q15，在各個(gè)難度檔次中分布非常均勻。

Q1是最簡單的行程計(jì)算問題，放在amc8中也無任何不妥。Q2是基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，在過程中略注意些技巧可以一定程度簡化運(yùn)算，大致也就是amc12中Q14，Q15的難度水平。

Q7是道復(fù)數(shù)計(jì)算背景的極值問題，三角換元或者柯西不等式一步可以得到答案，基本對(duì)應(yīng)AMC12中Q16，Q17的難度。

Q9出現(xiàn)了在AMC和AIME中比較少出現(xiàn)的雙曲線，看起來是個(gè)解析幾何背景的極值問題但實(shí)際考察的只是對(duì)雙曲線漸近線最基本的概念和性質(zhì)的了解，難度大致也對(duì)應(yīng)AMC12的Q17，Q18。

在難題部分，Q12考察了絕對(duì)值函數(shù)，三角函數(shù)，復(fù)合函數(shù)以及反函數(shù)的概念以及作圖，從題目的做法上來說非常基礎(chǔ)甚至幾乎不需要思考，但是在對(duì)函數(shù)做分段討論準(zhǔn)確畫出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)周期區(qū)間中的圖像每一段是需要足夠的耐心和細(xì)致，另外在對(duì)一個(gè)類似函數(shù)的反函數(shù)作圖時(shí)能夠快速地做邏輯上的類比。難度整體對(duì)標(biāo)AMC12的Q22，Q23。

最后壓軸題Q15是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的多元約束條件下的極值問題，注意到一個(gè)關(guān)鍵的隱含約束條件之后做標(biāo)準(zhǔn)的消元替換最終可以得到一個(gè)單調(diào)函數(shù)，新元所滿足的約束條件又可以通過求解一個(gè)三次方程的根來獲得，整體難度也不高，大致對(duì)應(yīng)常規(guī)難度下AMC12的Q24，Q25。

4幾何部分

這次的幾何題目分別為Q5，Q8，Q9，Q10，Q14。Q9我們在代數(shù)部分說過勉強(qiáng)算半道解析幾何背景的題目。

Q5考察了一個(gè)對(duì)競賽生來說在幾何部分最重要（我們在我們的課上會(huì)反復(fù)跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)）的概念，四點(diǎn)共圓四邊形（cyclic quadrilateral）性質(zhì)的掌握，也就是對(duì)角互補(bǔ)，尤其可以推出一對(duì)角度的相等，然后用相似或者設(shè)角用三角函數(shù)來表達(dá)線段長度即可，難度對(duì)應(yīng)AMC10,12的Q16，Q17左右。

Q8是個(gè)給定三角形內(nèi)一條邊上相同size內(nèi)切圓放置的問題，對(duì)邊進(jìn)行簡單、類似的分拆從算法上也幾乎沒有任何難度，對(duì)應(yīng)AMC10,12的Q17，Q18的難度。

Q10考察了三角形的外接圓，切線與弦切角，簡單圓冪定理以及三角形熟練求解，大家要對(duì)三邊已知（競賽中最常見的幾何題型）的三角形各典型幾何量（和心相關(guān)的角度，線段長度等）的求解算法非常熟悉，這些都是基本功。

最后Q14是一道四面體內(nèi)切球半徑求解的立體幾何問題，同樣從算法上來說沒什么難度，算高算體積，再用內(nèi)切球的半徑計(jì)算公式（和多邊形內(nèi)切圓半徑計(jì)算邏輯一樣）可得，稍微有些運(yùn)算量。難度上也就對(duì)應(yīng)AMC10，12常規(guī)Q24的水平。

這次Q4，Q6，Q11的三道組合題目難度都較低，也從只是上較大程度地降低這次AIME的整體難度。Q4根據(jù)重合中獎(jiǎng)序列數(shù)字的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論所求概率的表達(dá)式可直接寫出，難度大致跟AMC12的Q15，Q16相當(dāng)。Q6又是經(jīng)典的網(wǎng)格路徑問題，考慮對(duì)稱性將橫向豎向的連續(xù)步數(shù)設(shè)出，計(jì)算滿足簡單約束條件下的步數(shù)取值可能即可，最終結(jié)果是簡單等差數(shù)列求和相乘，難度大致對(duì)應(yīng)AMC10，12的Q18，Q19。

最后Q11是個(gè)圓周（或正多邊形）定點(diǎn)染色問題，標(biāo)準(zhǔn)且簡單的geometric counting，根據(jù)藍(lán)點(diǎn)數(shù)量分類討論即可，最后在藍(lán)點(diǎn)數(shù)量為4時(shí)對(duì)所有的藍(lán)點(diǎn)分布的構(gòu)型進(jìn)行遍歷時(shí)稍微需要細(xì)致些不要遺漏即可。

5數(shù)論部分

最后數(shù)論部分本次考察題目較少，只有Q3和Q13，但質(zhì)量都較高。

Q3雖然編號(hào)不高，但是是一道有一絲MO數(shù)論組合雜題風(fēng)格的游戲必勝策略類題目，不過大家容易想到1,4配對(duì)，根據(jù)總數(shù)mod5的余數(shù)分類進(jìn)行具體策略施行的討論。

Q13算是本次比賽難度相對(duì)最高的一道，涉及到相當(dāng)?shù)倪\(yùn)算量和準(zhǔn)確性。題目本身和2019 AIME I Q14非常類似，考察了歐拉定理，整數(shù)的階（order）的概念和性質(zhì)，在確定了質(zhì)數(shù)模為17之后，找四次方模17的平方余1最小的整數(shù)算是這道的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)和計(jì)算上的難點(diǎn)，技巧是先尋求一個(gè)弱條件mod17也需要余1，然后找到這個(gè)整數(shù)的必要條件必須是mod17余2或者8兩種可能，再分類討論將整數(shù)設(shè)成17k+2或者17k+8的形式討論其四次方展開mod17的平方余1對(duì)于k的要求。這道題目能流暢準(zhǔn)確地做出，對(duì)于學(xué)生對(duì)模代數(shù)的基本功和運(yùn)算能力要求是比較高的。

除此之外，翰林導(dǎo)師還為大家預(yù)測了今年USA(J)MO的分?jǐn)?shù)線，可供大家參考！

USA(J)MO分?jǐn)?shù)線預(yù)測