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各類(lèi)參考資料（即使開(kāi)卷也沒(méi)時(shí)間查找）；
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Big Idea 1: Limits

1.1:The concept of a limit can be used to understand the behavior of functions.

1.1A(a): Express limits symbolically using correct notation.
1.1A(b): Interpret limits expressed symbolically.
提示：?jiǎn)蝹?cè)極限（limit），極限的存在性。
1.1B: Estimate limits of functions.
1.1C: Determine limits of functions.
提示：極限四則運(yùn)算法則。0/0，∞/∞，0?∞均為不定式（indeterminate forms），需要用L’H?pital法則求解；1∞，∞0，00亦為不定式，可通過(guò)求對(duì)數(shù)化為0/0（或∞/∞）不定式。
1.1D: Deduce and interpret behavior of functions using limits.
提示：漸近線(xiàn)（asymptotes）的意義。有理分式（rational functions），其vertical asymptote取決于分母=0的點(diǎn)，horizontal asymptote取決于分子分母最高次次數(shù)。

1.2: Continuity of a function is a key property of functions that is defined using limits.

1.2A: Analyze functions for intervals of continuity or points of discontinuity.
提示：在某處連續(xù)（continuous）的定義為：該點(diǎn)極限等于該點(diǎn)函數(shù)值。
1.2B:?Determine the applicability of important calculus theorems using continuity.
提示：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有介值定理（Intermediate Value Theorem）和極值定理（Extreme Value Theorem）。

Big Idea 2: Derivatives

2.1: The derivative of a function is defined as the limit of a difference quotient and can be determined using a variety of strategies.

2.1A: Identify the derivative of a function as the limit of a difference quotient.
2.1B: Estimate derivatives.
提示：直接用定義進(jìn)行數(shù)值估計(jì)。
2.1C: Calculate derivatives.
提示：記住基本函數(shù)的微分公式，微分的加減乘除法法則（特別是乘法法則），復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t（chain rule）。
2.1D: Determine higher order derivatives.
BC級(jí)別：方程定義的隱函數(shù)（implicit function）兩邊取對(duì)x的微分，把y看作x的函數(shù)，得到關(guān)于dy/dx的一次方程，然后變形即可用x,y表達(dá)dy/dx；二階微分也是把dy/dx表達(dá)式中y看作x的函數(shù)。
參數(shù)方程（parametric equations）定義的函數(shù)（參數(shù)為t），dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)；二階微分再把dy/dx看成t的函數(shù)做類(lèi)似操作。

2.2: A function’s derivative, which is itself a function, can be used to understand the behavior of the function.

2.2A: Use derivatives to analyze properties of a function.
提示：一節(jié)微分看增減，二階微分看凹凸。一階微分=0為駐點(diǎn)（stationary point/critical point）可能是極大（local/relative maximum）、極?。╨ocal/relative minimum）或二者皆非，是哪一種看前后一階微分值變不變號(hào)；拐點(diǎn)（inflection point）看二節(jié)微分變不變號(hào)。
2.2B: Recognize the connection between differentiability and continuity.
提示：可微（differentiable）必連續(xù)，反之不必。

2.3: The derivative has multiple interpretations and applications including those that involve instantaneous rates of change.

2.3A: Interpret the meaning of a derivative within a problem.
2.3B: Solve problems involving the slope of a tangent line.
提示：切線(xiàn)（tangent）斜率=該點(diǎn)微分值；法線(xiàn)（normal）與切線(xiàn)垂直。
2.3C: Solve problems involving related rates, optimization, rectilinear motion, and planar motion (BC).
提示：注意速度（velocity）是矢量，分量分別算；速率（speed）是速度矢量的大小。
2.3D: Solve problems involving rates of change in applied contexts.
2.3E: Verify solutions to differential equations.
2.3F: Estimate solutions to differential equations.
提示：1）給定一個(gè)一階微分方程（differential equation of first order），則每一個(gè)點(diǎn)(x,y)決定該點(diǎn)的微分值即函數(shù)斜率，所有點(diǎn)的斜率構(gòu)成斜率場(chǎng)（slope field），將各點(diǎn)斜率連成一條曲線(xiàn)，則為滿(mǎn)足方程的一個(gè)解。
2）Euler法（BC級(jí)別）為最簡(jiǎn)單的數(shù)值求解一階微分方程的方法，設(shè)定一個(gè)步長(zhǎng)Δx，由一個(gè)初始點(diǎn)開(kāi)始，用每一步的微分值估計(jì)下一步的y的值。

2.4: The Mean Value Theorem connects the behavior of a differentiable function over an interval to the behavior of the derivative of that function at a particular point in the interval.

2.4A: Apply the Mean Value Theorem to describe the behavior of a function over an interval.
估計(jì)一個(gè)小的Δx范圍中某點(diǎn)的微分值，可用Lagrange中值定理（Mean Value Theorem）。另外中值定理（Cauchy形式）也是L’H?pital法則的理論基礎(chǔ)。

Big Idea 3: Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus

3.1: Antidifferentiation is the inverse process of differentiation.

3.1A: Recognize antiderivatives of basic functions.
提示：基本函數(shù)的微分公式反推一些基本的原函數(shù)（antiderivative）。
3.1A2: Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.

提示：求原函數(shù)的運(yùn)算：

1) 加減法和數(shù)乘。
2) 對(duì)于兩函數(shù)相乘的積分，可以先觀察是否其中一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)復(fù)合函數(shù)中間變量的微分，如果能就用換元法（changing variables）；否則，可以嘗試用分部積分法（integration by parts）（BC級(jí)別）：主要適用類(lèi)型包括xn?sin(x), xn?cos(x), xn?ex, xp?lnx, xp?arctan(x)等。
3) 根式下a2±x2型，x2-a2的積分，可用三角換元（如a2-x2，可做代換x=a?cos(x)）。
4）對(duì)于有理分式，可以用待定系數(shù)法（method of undetermined coefficients）先化成簡(jiǎn)單的部分分式（partial fractions），然后對(duì)每個(gè)部分分式求積。

3.2: The definite integral of a function over an interval is the limit of a Riemann sum over that interval and can be calculated using a variety of strategies.

3.2A(a): Interpret the definite integral as the limit of a Riemann sum.
3.2A(b): Express the limit of a Riemann sum in integral notation.
提示：Riemann可積（integrable）函數(shù)，其Riemann和（sum）的極限與劃分和取點(diǎn)的方式無(wú)關(guān)。
3.2B: Approximate a definite integral.
提示：積分的數(shù)值方法，包括左、右矩形法（left/right rectangle method），梯形法（trapezoid method）。比較幾種方法的近似值與精確值的關(guān)系可通過(guò)畫(huà)圖看出。
3.2C: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.
3.2D: (BC) Evaluate an improper integral or show that an improper integral diverges.
提示：反常積分（improper integral）看成上/下極限趨近于無(wú)窮或某值時(shí)積分的極限?？邕^(guò)一個(gè)反常奇點(diǎn)積分，則兩邊要分開(kāi)求再加和。

3.3: The Fundamental Theorem of Calculus, which has two distinct formulations, connects differentiation and integration.

3.3A: Analyze functions defined by an integral.
提示：基本公式：Newton-Leibniz公式，聯(lián)系函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系。變上/下限x的積分看成x的函數(shù)，求微分即為被積函數(shù)在該點(diǎn)的值。如果上/下限為x的函數(shù)，則求微分用鏈?zhǔn)椒▌t。
3.3B(a): Calculate antiderivatives.
3.3B(b): Evaluate definite integrals.

3.4: The definite integral of a function over an interval is a mathematical tool with many interpretations and applications involving accumulation.

3.4A: Interpret the meaning of a definite integral within a problem.
3.4B: Apply definite integrals to problems involving the average value of a function.
3.4C: Apply definite integrals to problems involving motion.
提示：BC級(jí)別：注意位移（displacement）是速度（velocity）矢量的積分，也是矢量；距離（distance）是速率（speed）的積分。
3.4D: Apply definite integrals to problems involving area, volume, and length of a curve (BC)?.

提示

1) 面積：極坐標(biāo)（BC級(jí)別）定義的曲線(xiàn)圍成的面積公式。對(duì)封閉曲線(xiàn)先取好始末點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角θ的上下界。求兩圖形相交區(qū)域先求交點(diǎn)，然后分片求解。
2）旋轉(zhuǎn)體體積：可用截面（cross-section）法，也可用圓柱殼法（shell method），看給定的函數(shù)關(guān)系和繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，選取方便的方法。
3.4E: Use the definite integral to solve problems in various contexts.

3.5: Antidifferentiation is an underlying concept involved in solving separable differential equations. Solving separable differential equations involves determining a function or relation given its rate of change.

3.5A: Analyze differential equations to obtain general and specific solutions.
提示：對(duì)于dy/dx=f(x)?g(y)型的微分方程，可將x、y分離變量（separating variables），兩邊積分。指數(shù)增長(zhǎng)/衰減（exponential growth and decay），以及?logistic growth （BC級(jí)別）兩種常見(jiàn)的方程都屬于這一類(lèi)。
3.5B: Interpret, create, and solve differential equations from problems in context.?4

Big Idea 4: Series (BC)

4.1: The sum of an infinite number of real numbers may converge.

提示：級(jí)數(shù)（series）值定義成部分和當(dāng)項(xiàng)數(shù)n→∞的極限。
4.1A: Determine whether a series converges or diverges.

提示：

1）級(jí)數(shù)收斂（converges）的必要條件是項(xiàng)an→0；
2）幾何級(jí)數(shù)（geometric series），公比（common ratio）為p，當(dāng)|p|<1時(shí)收斂，否則發(fā)散；
3) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的最基本原理：比較判別法（comparison test）。有改進(jìn)版：極限比較判別法（limit comparison test）；
4) p-series：1/np型（或?qū)τ趎可求原函數(shù)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)）可用積分判別法（integral test）；
5) 與幾何級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，得到比值判別法（ratio test）和根值判別法（root test），可推廣到非正項(xiàng)級(jí)數(shù)（加絕對(duì)值，判斷絕對(duì)收斂）。其中比值判別法比較有用，適用于含an，n!，nn形式的級(jí)數(shù)，也是求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的基礎(chǔ)（參見(jiàn)4.2C）；
6）絕對(duì)收斂（absolutely converges）的級(jí)數(shù)必收斂，反之不一定。收斂但不絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂（conditionally converges）；
7）對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（alternative series），有簡(jiǎn)單的Leibniz判別法：每項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)下降趨近于0，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。（圖像：在收斂點(diǎn)附近振蕩，且振幅越來(lái)越?。?/p>

4.1B: Determine or estimate the sum of a series.
提示：

1）幾何級(jí)數(shù)可精確求值；
2）對(duì)于滿(mǎn)足Leibniz判別法的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)圖像，截?cái)嗟降趎項(xiàng)的和，誤差不超過(guò)第n+1項(xiàng)的絕對(duì)值；
3）對(duì)于絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，則調(diào)換任意項(xiàng)的次序，得到的級(jí)數(shù)依然收斂于原值。

4.2: A function can be represented by an associated power series over the interval of convergence for the power series.

4.2A: Construct and use Taylor polynomials.
4.2B: Write a power series representing a given function.

提示：

1）記住在x=a附近函數(shù)的Taylor展開(kāi)公式，它是一個(gè)冪級(jí)數(shù)（power series）。MacLaurin展開(kāi)式為T(mén)aylor在x=0展開(kāi)式的別名；

2）截?cái)嗟降趎項(xiàng)，Lagrange余項(xiàng)（remainder）可用來(lái)做誤差的上限的估計(jì)。注意Lagrange余項(xiàng)的形式中f(n)(ξ)中的ξ為a，x之間的某個(gè)值，誤差估計(jì)的時(shí)候要取|f(n)(ξ)|在該區(qū)間內(nèi)的極大值作為上界的估計(jì)；

3）熟悉sin(x), cos(x), ex, ln(1+x), (1+x)p的展開(kāi)式；

4）冪級(jí)數(shù)可以進(jìn)行逐項(xiàng)微分和積分（differentiation and integration term-by-term）；由此可求得一些不方便直接計(jì)算的函數(shù)的展開(kāi)式（如arctan(x)）。也可用于將無(wú)法寫(xiě)成閉形式（closed form）的原函數(shù)（如∫exp(-x2)dx）展開(kāi)成級(jí)數(shù)。
4.2C: Determine the radius and interval of convergence of a power series.
提示：用比值判別法可求得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（convergence radius）。收斂半徑上的點(diǎn)的收斂性要單獨(dú)判定。