AP微積分Calculus考點大揭秘

- AP微積分考點大揭秘 -

Calculus AB和BC所考內容五大部分1極限部分以求極限值和漸近線為主，大約5道選擇題A．求函數漸近線水平的和豎直的各自用極限是怎么定義計算的，基礎還是極限計算。不要死背公式，回到邏輯上去看。

（1）函數的定義和性質（定義域值域、單調性、奇偶性和周期性等）

（2）冪函數（一次函數、二次函數，多項式函數和有理函數）

（3）指數和對數（指數和對數的公式運算以及函數性質）

（4）三角函數和反三角函數（運算公式和函數性質）

（5）復合函數，反函數

*（6）參數函數，極坐標函數，分段函數

（7）函數圖像平移和變換

B．Limit and Continuity極限和連續

基本計算：

- 一些基本函數的極限結論要熟悉，如 y=e^x在x 分別趨向于正無窮或者負無窮時的極限，y=sinx在 x 趨向無窮時的極限，等等；

- 基本的加減乘除原則；

- sinx在x趨向于∞時 有理函數類型（自變量趨向于無窮時，直接看最高項次方的關系。兩個極限小公式（一個是sinx/x，一個是結果記為e的那個）；

- 洛比達法則（L’ Hopital’s Rule）AB不考，BC考極限喜歡考它。

閉區間連續函數的性質定理：

最值定理（Extreme Value Theorem）

介值定理（Intermediate Value Theorem）

零點定理（Zero Point Theorem）

記住這三個定理的內容，理解其邏輯，并會聯系Mean Value Theorem。

分類：

（1）極限的定義和左右極限

（2）極限的運算法則和有理函數求極限

（3）兩個重要的極限

（4）極限的應用-求漸近線

（5）連續的定義

（6）三類不連續點（移點、跳點和無窮點）

（7）最值定理、介值定理和零值定理2導數和導數的應用部分（重點）以運用不同函數的導數去解決實際物理或者幾何問題為主，大約有15道選擇題和3道問答題。

C．Derivative導數

（1）導數的定義、幾何意義和單側導數

（2）極限、連續和可導的關系

（3）導數的求導法則（共21個）

（4）復合函數求導

（5）高階導數

（6）隱函數求導數和高階導數

（7）反函數求導數

*（8）參數函數求導數和極坐標求導數

D．Application of Derivative導數的應用

（1）微分中值定理（D-MVT）

（2）幾何應用-切線和法線和相對變化率

（3）物理應用-求速度和加速度（一維和二維運動）

（4）求極值、最值，函數的增減性和凹凸性

（5）洛比達法則求極限

（6）微分和線性估計，四種估計求近似值

（7）歐拉法則求近似值

* 極限，連續和導數的概念，建議通過圖形記憶，三者之間存在密切的聯系！一般可導的圖形都是光滑連續的。

3不定積分、定積分及其應用部分（考試重點）以運用不定積分的運算法則求體積、面積或者解決實際問題為主，大約有15道選擇題和2道問答題。

E．Indefinite Integral不定積分

（1）不定積分和導數的關系

（2）不定積分的公式（18個）

（3）U換元法求不定積分

*（4）分部積分法求不定積分

*（5）待定系數法求不定積分

F．Definite Integral 定積分

（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定積分的定義和幾何意義

（2）牛頓-萊布尼茨公式和定積分的性質

*（3）Accumulation function求導數

*（4）反常函數求積分

H．Application of Integral定積分的應用

（1）積分中值定理（I-MVT）

（2）定積分求面積、極坐標求面積

（3）定積分求體積，橫截面體積

（4）求弧長

（5）定積分的物理應用

* 定積分，要知道Riemann?Sum的4種表達形式：Left-hand , Right-hand , Mid-point and?Trapezoid，每年都至少考一種，不需要特別記憶公式，在考試中只要大體畫出圖像就可輕松做出來。

4微分方程部分主要考可分離變量的微分方程和斜率場，大約有5道選擇題。

I．Differential Equation微分方程

（1）可分離變量的微分方程和邏輯斯特微分方程

（2）斜率場65.無窮級數部分為（考試難點）只有BC考試，考試內容以泰勒級數、麥克勞林級數和拉格朗日余項為主，大約有1個問答題和5個選擇題。

*J．Infinite Series無窮級數

（1）無窮級數的定義和數列的級數

（2）三個審斂法-比值、積分、比較審斂法

（3）四種級數-調和級數、幾何級數、P級數和交錯級數

（4）函數的級數-冪級數（收斂半徑）、泰勒級數和麥克勞林級數

（5）級數的運算和拉格朗日余項、拉格朗日誤差

* 常考的幾個定理：微積分基本定理（FTC），中值定理（MVT），介值定理（IVT），其中FTC每年考的比重最大！對于IVT只要求函數是連續的，而對于MVT要求函數既是連續又是可導的，定理條件的判斷特別容易出現。

▲注：微積分BC課程比AB課程考察內容更多，題目更難，AB的內容和難度大概相當于BC的1/2，多出的內容部分已經在上面用*號標出。

AP微積分應試方法與注意事項

1、答題時注意盡量寫清楚詳細的解題步驟。

2、大題通常是分成A,B,C,D等若干小題來提問的，一定要注意如果前邊有不會的，不必停留在那，可以直接進入下一問的解答，而且可以利用前面的結果。

如若你要解一個未知數，先建立方程，在借助計算器求解未知數。類似地，如果使用計算器求定積分，先寫出積分表達式，在用計算器求解，不寫積分表達式同樣得不到滿分。

3、直接劃掉錯誤的解法不會被計分。同樣如果沒有更好的解法，把劃掉的解法留在那，有可能得一點兒分。

4、一定要記住計算器只可以畫函數圖像，計算導函數在某點的值，解方程，計算定積分。

除此之外，例如確定最大、最小值，曲線的凹凸性，曲線拐點，遞增、遞減，以及定義域、值域都不可以使用計算器來求解，而使用數學方法求解，當然可以借助計算器檢驗。

5、一定要仔細審題，確保已經完整的回答了問題。比如問題是求函數的最大值，僅僅求出了函數取最大值時相應的X的取值是不完整的，一定要給出最大值才行。

而且注意題目中如果有單位，答案一定要帶單位。當然有些問題如果需要加以驗證，一定要給閱卷老師另他（她）滿意的理由。比如X=3是拐點，如何驗證是拐點，一定要說明二階導函數值在該點兩側變號才可以。

6、還要注意以下幾點：

1）結果如果是無窮小數，則保留三位；

2）歐拉方法注意步長；反函數和原函數的x、y是對調的，導數是成倒數關系的，有時候想不清可以畫圖；

3）在求立體體積的題目里，是打橫切還是打豎切這個要看清楚；

4）不會做的題目先把式子列出來，能夠拿分，也可能寫出來以后就會做了；

5）題目里面有單位的，算出來的答案也要帶單位。