計算共形幾何講義：阿貝爾定理

暑假期間，老顧在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)中心講學(xué)，在周邊參加了一些學(xué)術(shù)活動，感慨良多。前幾日，老顧在中科院數(shù)智講壇給了一次有關(guān)計算共形幾何的演講，旁征博引，傾情投入，聽眾也聚精會神，熱情高漲，大家共同體驗了一次數(shù)學(xué)之美。

聽眾中有一位三十年未見的朋友，子睿教授。

他不辭辛勞，橫越京城，前來捧場。記得分別那年，大家都是青蔥少年，玉樹臨風(fēng)，豪氣萬丈；重逢時都已年屆不惑，雙鬢斑白，閱盡滄桑。當年我們的代數(shù)老師常若蘭認為我們兩人具有數(shù)學(xué)潛質(zhì)，為我們傾盡心血，苦心栽培。

多年之后，我們依然在學(xué)術(shù)界孜孜以求，絲毫不敢辜負師恩。數(shù)十年后不期重逢，子睿兄依照學(xué)者的最高禮儀，送給我一本他的近期學(xué)術(shù)著作。子睿兄嘔心瀝血十數(shù)載，才得以完成。

書中寫盡他的人生感悟和思想精髓，捧讀他的大作，宛如直面他的靈魂，從中可以體悟他所經(jīng)歷的驚濤駭浪和愛恨情仇。我們彼此凝視著對方飽受歲月摧殘的面龐和身軀，似乎努力尋找一些彼此寬慰的言語，又似乎沒有必要，一切盡在不言中。

一天傍晚，老顧和朋友們參加一個拓撲研討會。教室外狂風(fēng)大作，暴雨傾盆。教室內(nèi)擠滿了年輕學(xué)生，有的少年憨厚率真，用家鄉(xiāng)話不時地進行點評；有的少年精靈古怪，問著刁鉆深奧的問題。

從講者到學(xué)生，大家都沉浸在三維流形的拓撲世界，如醉如癡，酣暢淋漓。空氣中洋溢著純粹而亢奮的氣氛，少年人的才氣恣肆汪洋。講到精妙之處，所有人都情難自禁地爆笑不已，少年人更是興奮地敲擊或者蹬踹課桌。望著滿教室青春洋溢的面龐，老顧難抑深深的羨慕，同時更加堅信中國的數(shù)學(xué)充滿希望！

暑期老顧和學(xué)生們重溫了經(jīng)典黎曼面理論，包括全純線叢、陳類、黎曼-羅赫定理、阿貝爾-雅可比定理等等。數(shù)十年前，老顧在哈佛大學(xué)和丘先生學(xué)習(xí)過這些理論，那時年少輕狂，對這些理論不求甚解，淺嘗則止。數(shù)十年后，積累了豐富的人生閱歷之后，老顧漸漸領(lǐng)悟了這些理論的深意，對這些前輩數(shù)學(xué)家肅然起敬。

阿貝爾（Niels Henrik Abel）是挪威的驕傲，但個人際遇卻極度凄慘，堪稱數(shù)學(xué)界的梵高。

從某種角度而言，阿貝爾是幸運的，他在少年時代遇到了恩師霍姆伯（Holmboe）。霍姆伯洞察到阿貝爾的數(shù)學(xué)天賦，引導(dǎo)他學(xué)習(xí)了牛頓、歐拉、拉格朗日和高斯的原著，后來無私資助阿貝爾游學(xué)歐洲，拜訪名家，在阿貝爾去世后，收集整理他的數(shù)學(xué)工作，使其光輝的思想得以留存于世。

阿貝爾的另一位朋友克雷勒（Crelle）是位土木工程師，對數(shù)學(xué)極有熱誠，雖然不懂阿貝爾的工作，但卻慷慨解囊，出版阿貝爾的論文，使得阿貝爾的才華昭著于世。

阿貝爾也是不幸的，雖然他在十九歲就證明了高于四次的代數(shù)方程沒有一般形式的代數(shù)解，但是高斯不相信這個其貌不揚的少年能夠解決困擾人類上千年的難題，從而從未閱讀過阿貝爾寄來的論文；在巴黎，來自窮鄉(xiāng)僻壤的阿貝爾外表靦腆、衣著寒酸，受到了勒讓德和柯西的冷落。生活的貧困，學(xué)術(shù)的失意，令阿貝爾染上當時的不治之癥，肺結(jié)核，不幸英年早逝，年僅27歲。阿貝爾死后兩天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大學(xué)決定聘任他擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。

依照世俗的價值標準來衡量，阿貝爾無疑是一個徹頭徹尾的失敗者，沒有社會地位，一文不名，情感生活坎坷；但是在人類文明史上，阿貝爾是一顆璀璨的明星，極大地推動了數(shù)學(xué)思想的歷史進程。

與阿貝爾時代相比，老顧所處的現(xiàn)代無疑進步了許多，但是一如阿貝爾這般具有原始獨創(chuàng)性的思想未必很多。這一時代的根本性標志是計算機工業(yè)的蓬勃發(fā)展。

作為一名計算機科學(xué)和數(shù)學(xué)科研人員，老顧經(jīng)常思考的問題就是：

1）計算機科學(xué)家和數(shù)學(xué)家各自用自身的語言，依照自身的美學(xué)標準，在各自的王國，自圓其說地講述著自己的故事。那么他們是否在說同樣的事情？

2）如果計算機科學(xué)家和數(shù)學(xué)家是對同一事物進行不同表述，他們是在同義反復(fù)，還是風(fēng)馬牛不相及？誰說得更加嚴密而精準，誰說得更加深刻而本質(zhì)？例如多年以來，老顧經(jīng)常困惑的一個問題是：天下所有的數(shù)學(xué)家都知道黎曼面的概念，都知道阿貝爾微分和阿貝爾定理，那么在現(xiàn)實生活中，黎曼面和阿貝爾微分究竟在哪里？物理學(xué)家有超弦理論，每根弦都是一張黎曼面。那么在觸手可及的日常生活中，是否存在如此抽象概念的實在對應(yīng)呢？

由陳省身先生關(guān)于等溫參數(shù)的存在性證明，我們已經(jīng)知道現(xiàn)實生活中所有的曲面都是黎曼面，從嶙峋的巉巖到精致的面龐，都是黎曼面，因而都有共形結(jié)構(gòu)；但是阿貝爾微分究竟對應(yīng)著現(xiàn)實生活中的什么事物、阿貝爾定理究竟如何影響日常生活，這個問題一直沒有圓滿的解釋，直至最近的一次頓悟。

老顧每天開車上下班，在長島高速公路上飛馳近一個半小時，因此對于機械工程中的計算機輔助幾何設(shè)計（CAGD）有著切身體會。在和很多機械領(lǐng)域的學(xué)者朋友深入交往之后，老顧突然意識到機械設(shè)計方法的理論基礎(chǔ)之一就是阿貝爾微分。

從這個角度而言，阿貝爾定理無時不刻在控制著人類的日常生活，只是我們?nèi)狈垩郏瑹o法直接洞察到而已。數(shù)十年后，大夢初醒的老顧急忙將這一心得和朋友與學(xué)生分享，大家都無比激動，立刻投入到鉆研阿貝爾理論的熱潮之中！我們期待這一新穎視角會給工程應(yīng)用帶來突破。

這里，我們概述黎曼面的阿貝爾定理，在后繼的文章中我們會介紹為什么阿貝爾定理是現(xiàn)代機械幾何輔助設(shè)計的理論基礎(chǔ)之一。很多基本的概念，可以參看前面的文章：計算共形講義：纖維叢和陳類。

黎曼面的周期矩陣

假設(shè)是一張緊致黎曼曲面，虧格為g。選定基點和一族基本群的典范基底：

，

代數(shù)相交數(shù)滿足條件：

，

圖1. 基本群的基底和一個基本域。

 

我們選擇全純微分空間的對偶典型基底 ，滿足條件：

。

黎曼面的周期矩陣定義成：

在這里周期陣為單位矩陣。周期矩陣是黎曼面的全系不變量，其系數(shù)并不獨立，由Teichmuller理論，周期矩陣的自由度為。周期矩陣具有一些特殊性質(zhì)。

---

我們考察亞純微分的雙線性關(guān)系。

定理（亞純微分的雙線性關(guān)系） 令是緊黎曼面上的全純微分；是亞純微分，具有單極點，并且假設(shè)基本群基底不經(jīng)過這些極點，記這些微分的周期為

,

則有雙線性關(guān)系：

進一步

，

這里是亞純微分在極點處的留數(shù)，積分路徑在基本域內(nèi)選取。

證明：在基本域內(nèi)，我們定義函數(shù)

,

由此，我們有

，

由留數(shù)定理，

。

另一方面，在基本域的邊界上，我們有

這里和對應(yīng)著黎曼面上的同一個點。由于是閉的，

,

由此，我們得到

,

同理可得

,

兩個等式合起來就推出

。

證明完畢。

推論（周期矩陣的對稱正定性）：如果亞純微分也是全純的，那么沒有極點，等式右側(cè)為0，我們有全純微分的雙線性關(guān)系，

。

將帶入上式，我們得到

,

即周期矩陣是對稱陣。令，這里系數(shù)為實數(shù)，由

和雙線性關(guān)系

，

因此周期矩陣的虛部為正定矩陣。

亞純微分的雙線性關(guān)系可以推廣成一般閉微分形式的雙線性關(guān)系。假設(shè)和是光滑閉微分形式，則我們有等式：

。

圖2. 曲面上的全純二次微分，和對應(yīng)的因子。

阿貝爾定理

黎曼面上的亞純函數(shù)可以由其零極點來刻畫，給定亞純函數(shù)的因子，基本上就已經(jīng)確定了亞純函數(shù)本身。亞純函數(shù)的因子被稱為是主要因子。但是黎曼面上任給次數(shù)為0的因子，未必是主要因子，即未必存在相應(yīng)的亞純函數(shù)。阿貝爾定理給出了主要因子的充分必要條件。

---

Abel-Jacobi 映射定義如下，給定黎曼面上的任意一點，任選一條從基點到的路徑，進行積分：,

。

如果我們選擇兩條不同的路徑來連接和，

,

則。由此，我們定義格點群，從而定義Jacobi簇 。Abel-Jacobi映射實際上是從黎曼面到Jacobi簇的映射：。

我們需要證明Abel-Jacobi映射是非退化的。這可以由下面的引理得出。

引理 對于任意，存在基底全純微分，使得。

證明：反之，則存在，對于一切全純微分，都有，那么全純微分空間

,

從而 。由黎曼-羅赫公式，

,

這說明和球面同構(gòu)，矛盾。證明完畢。

---

引理：給定黎曼面上的相異兩點，則存在唯一的亞純微分，滿足：

1. 以p,q為單極點，沒有其他極點，且在p處的留數(shù)為+1，在q處的留數(shù)為-1；

2. 的A-周期為0，

   。

證明：考慮因子-p-q，由黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch）：

,

這里亞純函數(shù)空間為空，因此亞純微分空間的維數(shù)。全純微分空間的維數(shù)為，存在為全純的亞純微分，它只能以p或者q為極點，且只能為單極點。由亞純微分的留數(shù)之和必為0知道，必然同時以p和q為極點，并且在p點和q點處的留數(shù)相反。通過歸一化，不妨設(shè)在p點和q點處的留數(shù)分別為+1和-1。不妨設(shè)

，

減去全純微分，則為符合條件的唯一亞純微分。證明完畢。

引理：上述亞純微分滿足條件

這里積分路徑在基本域中選取。

證明：對全純微分和亞純微分運用雙線性關(guān)系：

更進一步，我們有：

。

---

引理：設(shè)是閉曲線，為附近有定義的處處非零的光滑復(fù)函數(shù)，則積分

為整數(shù)。

證明：設(shè)的萬有覆迭空間，將閉曲線提升為，函數(shù)提升為。萬有覆迭空間單連通，處處非零，因而可以求對數(shù)，，g為覆迭空間上的光滑函數(shù)，滿足

,

同理，由此。我們得到：

,

因此為整數(shù)。證明完畢。

---

定理（Abel）給定次數(shù)為零的因子，則因子為主要因子當且僅當。

證明：當是次數(shù)為0的因子時，可以寫成

，

構(gòu)造引理中的亞純微分，這里。

如果是主要因子，令

亞純微分和具有相同的極點和留數(shù)，從而

為全純微分，我們得到

另外，我們有

,

整理后得到：

，

即

得到等式

這里

換言之，。

反之，如果，則存在整數(shù)，，使得

。

構(gòu)造亞純微分

，

則有

,

同理有

,

這里右側(cè)第一項

并且右側(cè)第二項

,

由此得到

。

因此，對于所有不經(jīng)過的封閉曲線, 我們都有，同時所有極點的留數(shù)都是整數(shù)。我們可以恰當?shù)囟x亞純函數(shù)：

,

那么我們有。證明完畢。

小結(jié)

阿貝爾定理斷言，黎曼面上的一個次數(shù)為零的因子是主要因子的充要條件是其Abel-Jacobi的像為零。理論上，我們可以從主要因子反解出相應(yīng)的亞純函數(shù)，這對于很多工程問題起到了決定性的作用。但是，迄今為止，一般高虧格曲面上亞純函數(shù)、亞純微分的構(gòu)造性算法依然沒有被發(fā)明出來。我們希望有志青年投身到這個問題中去，早日取得實質(zhì)性突破。