與佩爾方程有關的一道數論試題

美國數學奧林匹克學術活動

美國數學奧林匹克學術活動（USAMO， United Sates of American Mathematical Olympiad）

始于1972年，AIME后六星期舉行；考試時間為6小時。由6個問答及證明題構成。每題7分，不完全的答案及證明得部分分；考題都能用微積分之前的數學方法解決。USAMO的目的是，發現并挑戰具有杰出才干（高超的獨創性，豐富的數學知識及優秀的計算專長的統一的中學生；發掘這些可能是下一代數學界的精英的學生的數學才干。每年大約160名基于AHSME及AIME的高分者被邀請參加USAMO，只有美國公民或持有綠卡者才有資格參加此考試；之前階段的學術活動無此要求。以下是選拔USAMO參加者的方法：首先利用AHSME分數與10倍AIME分數的和來排名，然后如下選擇參加USAMO的五個小組，第一小組由前120名學生構成，第二小組由接下來12年級以下學生中的前10名構成，第三組由再接下來的11年級以下學生中的前10名構成，第四組由前三組以外的10年級以下學生中的前10名構成，從那些以上四組中無代表的每一個州、每一個準州中選出一名學生組成第五個組。USAMO的前六名組成美國隊參加國際數學奧林匹克學術活動。

以上各學術活動都允許使用計算器。AJHSME及AHSME歡迎外國學生參加。就筆者所知，上海南洋中學的學生曾參加過AHSME。

看到一道數論試題，見答案很繁瑣，于是與大家分享：