讓中國隊幾乎團滅的奧賽第三題，到底怎么解？

全網火熱的一道數學題，“難倒中國選手的第三題”，今天就告訴你到底怎么解—— ?
看來大家對本次RMM的反響很熱烈，尤其是那“難倒中國選手的第三題” 。一時間關于這道題的討論層出不窮： ?
從本次比賽的獎牌榜就不難看出這道題的難度非同小可——金牌和銀牌的差距，幾乎全在能否解出這道題上。 ?
可能對于許多非數學專業的朋友來說，光讀題就已經讓人感覺懷疑人生了…
所以在這里，我們為大家做了一個通俗易懂的科普。這道題問的到底是什么？題眼是什么？我們這些肉眼凡胎的吃瓜群眾，到底該怎么理解這道題并且進行下一步思考？

本題題目：給定任意正實數ε，請證明，除了有限個反例之外，所有正整數v都滿足：所有由v個頂點和至少(1+ ε)v條邊構成的圖，都存在一對等長的不同簡單圈（注意，簡單圈不允許重復出現相同的頂點）。

但看到這道題目的時候，我們很容易被題目中圖論的概念嚇住，因為在初高中的學習中，我們很少提到圖論，也很少會花時間了解圖論中不同術語的概念。但其實中學生學習圖論也大有裨益。
回到題目。其實通過一些簡單的介紹，很快我們就能幫同學們看明白這個問題，并且找到解題靈感。
首先，讓我們了解一下這道題目中出現的圖論的術語：
頂點（vertex）：圖論中圖（graph）的基本組成部分是頂點（vertex）和連接頂點的邊（edge）
邊（edge）：連接兩個頂點的線叫邊（edge）
圈（cycle）：圖論中，圈從一個頂點起步，沿著不重復的邊，不重復的頂點為途徑，回到起點的閉合路徑。 在一個圖中，如果我們有n個頂點，而每兩個點會形成一條邊，所以這個圖中最多存在(n-1)+(n-2)…2+1個邊，也就是從n個頂點中選出2個有多少種選法。我們可以從下圖中看到，這個圖中一共有5個頂點，當每兩個頂點都有一個邊相連，這個圖中一共有5個頂點，所以最多可以連成10條邊。在這個圖中，因為所有的點兩兩相連，我們可以清楚地看到5個頂點和10個邊。我們可以在這個圖中找到很多圈：我們可以看到這個圖中有不少長度為3的圈，我們在圖中標紅的兩個圈就有著相同的長度。在這里，我們需要指出，在圖論中的長度和我們日常生活中的長度是不一樣的。圖論中圈的長度是這一個圈中包含定點的數量。 現在我們可以想一想，如果一個圖中的邊很少，我們就很難找到圈。用相同的例子，如果我們只有一條邊，我們不難看出，無論這條邊連接了任何兩個頂點，這一個圖中都不可能存在一個圈。
現在，讓我們思考一個稍難一點的問題：在一個有n個頂點且不存在圈的圖中，最多能有多少條邊？
我們不難想出，在一個有n個頂點的圖中，如果已經存在了n-1個邊，增加的任意一條邊都會讓這個圖產生一個圈。我們可以通過下圖來看一看： 這樣，我們可以知道，當一個圖中有n個邊的時候，這個圖中一定存在至少一個圈。
我們可以看出，當一個圖的邊越多，這個圖中不一樣的圈也會越來越多。現在，我們就可以更好的理解RMM的這個問題。當一個圖中有v個頂點，且有(1+ ε)v條邊，因為ε大于0，這個圖中邊的數量一定＞v，我們不難知道這個圖中將會存在一些圈。這道題目的核心，就是證明出在這些圖中，我們能找到兩個長度相同的圈。
看懂題目了嗎？恭喜你，完成了解決這道題目最簡單的部分！接下來更難的部分自然是后續的推理證明了。當然了，對題目理解越深，就會有越多的解題思路和靈感。
? 如果你看到這里還覺得游刃有余，大可嘗試動手解這道題了！?
最后，讓我們來聽聽專家是怎么看待這道題的——

問題3是整個比賽中最具數學趣味性的，也是最吸引我的部分。我受到一些組合學研究的啟發，想出了一種解決方案。我還打算把這個問題帶回去給我的博士學生，這是非常有趣的研究點。

我認為解出問題3的關鍵，在于對數學理念有更深層次的理解和思考。我建議在培養學生的數學能力時，既要發展高階數學思維，同時也要用做題鞏固訓練；這是訓練IMO的一種創新，也是一種新的挑戰。
美國隊員們經常聚到一起討論研究相關的數學話題。這樣的經歷讓他們可以更好地思考這類問題。我發現很多國家隊教練都在朝這個方向轉變觀念。近幾年，國際數學學術活動的題目開始有越來越多數學研究的影子，我們也可以預見這樣的題目會被更多人認可。

最后的最后，可能有人還是會問：解這道題，到底有什么用處呢？
就現在來看，除了滿足數學愛好者的“探索精神”外，可能“毫無用處”。
但當費馬潛心研究數論的時候，絕對不會想到如今它在密碼學中的舉足輕重；當高斯在鉆研統計學、線性代數的時候，也不會想到它們如今成為了機器學習的基石。
有人說數學太虛無，又有人說數學最真實。一萬個數學愛好者里有一萬種數學，但它們都有一個最共同的特點——他們都深愛著數學。