天才數(shù)學(xué)家陶哲軒親授25條職業(yè)建議（一）

天才數(shù)學(xué)家陶哲軒親授25條職業(yè)建議（二）

天才數(shù)學(xué)家陶哲軒親授25條職業(yè)建議（三）

陶哲軒是世界著名天才數(shù)學(xué)家，未滿(mǎn)13歲即獲得國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)金牌，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)“菲爾茲獎(jiǎng)”獲得者，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)莫扎特”。他在此文中總結(jié)了給數(shù)學(xué)愛(ài)好者和研究人員的25條建議或忠告，大師真知灼見(jiàn)，值得收藏。

作為一個(gè)天才數(shù)學(xué)家，陶哲軒教授幾乎每隔一段時(shí)間就會(huì)收到一堆咨詢(xún)，例如應(yīng)該怎樣研究數(shù)學(xué)、怎樣寫(xiě)數(shù)學(xué)論文、怎樣開(kāi)始大學(xué)學(xué)習(xí)、怎樣增加自己被名校錄取的機(jī)會(huì)……他說(shuō)：我沒(méi)有“秘方”或其他一個(gè)放之四海而皆準(zhǔn)的處方，告訴年輕人如何獲得成功。但我可以給出一些忠告。

細(xì)讀這些忠告，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們真的很有用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止在于學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域。

下面是陶哲軒的25條Career advice。

1、數(shù)學(xué)不僅是分?jǐn)?shù)、考試和方法

作為一個(gè)大學(xué)生，需要重視成績(jī)和考試，這些考試經(jīng)常更強(qiáng)調(diào)記住技術(shù)和理論，而不是對(duì)實(shí)際概念的理解，或是智力以及直覺(jué)。然而，當(dāng)你進(jìn)入研究所學(xué)習(xí)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一種更高層次的學(xué)習(xí)（另外更重要的是——做）數(shù)學(xué)，它要求的能力超過(guò)緊緊會(huì)記憶和學(xué)習(xí)，或摹仿一個(gè)已有的論證或處理過(guò)的例子。這經(jīng)常要求你拋棄（或至少修改）很多大學(xué)時(shí)期的學(xué)習(xí)習(xí)慣；比起簡(jiǎn)單的關(guān)注于智力測(cè)試如考試，更多的需要主動(dòng)地學(xué)習(xí)和實(shí)踐來(lái)提高你自己的理解。

同樣，在大學(xué)及以下的階段主要教授成熟和優(yōu)美的數(shù)學(xué)理論，大部分是幾十年或幾百年以前做出的，而在研修生階段你將開(kāi)始接觸前沿，正在發(fā)展的東西——它也許會(huì)與你在大學(xué)時(shí)習(xí)慣的東西顯著不同，同時(shí)更有趣。

2、數(shù)學(xué)不僅是嚴(yán)格和證明

對(duì)大學(xué)生，老師經(jīng)常首先以非正規(guī)、直觀的方式教授數(shù)學(xué)（比如按照斜率和面積的方式描述導(dǎo)數(shù)和積分），然后才說(shuō)到要恰當(dāng)?shù)奶幚磉@些東西，需要一種精確和正式得多的方式來(lái)處理和思考這個(gè)問(wèn)題（比如使用epsilon delta來(lái)描述導(dǎo)數(shù)）。

知道如何嚴(yán)密的思考當(dāng)然極其重要，因?yàn)檫@給了你避免很多常犯錯(cuò)誤的規(guī)范，同時(shí)消除很多誤解。不幸的是，這無(wú)意中使得“模糊的”或“直覺(jué)的”思考（例如啟發(fā)性的推理，從例子中判斷性的推斷，或其他背景如物理的類(lèi)比），因?yàn)椤胺菄?yán)格”而遭到輕視。人們時(shí)常最終放棄開(kāi)始的直覺(jué)，而只能從正式的層面上處理數(shù)學(xué)。

嚴(yán)格的要點(diǎn)并非消滅全部的直覺(jué)；而是應(yīng)該被用來(lái)消滅有害的直覺(jué)，同時(shí)澄清和提高好的直覺(jué)。只有結(jié)合嚴(yán)格的形式化和好的直覺(jué)，人們才可以處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題；人們需要前者來(lái)正確地處理細(xì)節(jié)，后者來(lái)正確處理大的圖像。缺乏其中一者，你將費(fèi)盡時(shí)間踉蹌?dòng)诤诎抵校赡苡薪逃饬x，但是得不償失）。所以當(dāng)你完全適應(yīng)了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思維，你應(yīng)該重新嘗試在這個(gè)問(wèn)題上使用直覺(jué)，並且使用新的思維技能來(lái)測(cè)試和提煉這些直覺(jué)而不是拋棄他們。

理想的情況是每個(gè)啟發(fā)性的論證都能自然地暗示它對(duì)應(yīng)的嚴(yán)格證明，反之亦然。

3、努力工作

只依賴(lài)于聰明在最后時(shí)刻完成事情也許會(huì)暫時(shí)有效，但總體說(shuō)來(lái)在研修生以及更高層次上這不會(huì)有用。

為了在數(shù)學(xué)上達(dá)到一定水準(zhǔn)，你不僅需要思考，還需要讀和寫(xiě)大量的東西。與輿論相反，數(shù)學(xué)突破不僅（或主要）靠天才的“我發(fā)現(xiàn)了！”瞬間的推動(dòng)，而實(shí)際上很大程度是辛勤工作的產(chǎn)物。當(dāng)然這些工作由經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)指引。困難經(jīng)常藏匿在細(xì)節(jié)之中，如果你覺(jué)得理解了一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那你應(yīng)該已經(jīng)閱讀了所有相關(guān)的文獻(xiàn)，至少寫(xiě)出了這個(gè)領(lǐng)域的狀況的概要，并且最終寫(xiě)出這個(gè)主題的完整和詳細(xì)的處理方法。

如果你可以?xún)H僅構(gòu)思出主要的思路而讓次要的凡人來(lái)補(bǔ)充細(xì)節(jié)，那就太舒服了，但是，相信我，數(shù)學(xué)中決無(wú)此事。

經(jīng)驗(yàn)表明，只有細(xì)心集合了大量細(xì)節(jié)和其他論據(jù)（或至少證明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章，才值得人們花時(shí)間關(guān)注。如果創(chuàng)造者都不愿意干這個(gè)，那么很可能沒(méi)人會(huì)愿意做。

4、享受工作

某方面上這是上一條的推論。如果你不喜歡你的工作，那就很難投入足夠的精力，從長(zhǎng)期看持續(xù)投入精力是必要的。只因?yàn)闀r(shí)髦而從事一個(gè)領(lǐng)域遠(yuǎn)不如從事你歡喜的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

5、不要依據(jù)熱門(mén)或聞名程度而作職業(yè)決定

進(jìn)入一個(gè)領(lǐng)域或一個(gè)系，只因?yàn)樗鼰衢T(mén)并非好主意，關(guān)注領(lǐng)域中的最著名的問(wèn)題（或數(shù)學(xué)家），只因?yàn)樗麄兊拿麣庖喾橇疾摺拱渍f(shuō)，就數(shù)學(xué)整體而言沒(méi)有那么著名或者熱門(mén)的東西，也不值得把追求這些當(dāng)作你的首要目標(biāo)。任何熱門(mén)都很可能競(jìng)爭(zhēng)激烈，只有擁有最堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)（特別的，大量領(lǐng)域中不那么熱門(mén)方面的經(jīng)驗(yàn)）的人才能夠有所成就。

未解的著名問(wèn)題幾乎不可能“ab nihilo”解決。你需要先花很多時(shí)間在簡(jiǎn)單的（同時(shí)不著名）模型問(wèn)題上，獲取一些技術(shù)，直覺(jué)，中間結(jié)論，背景，和文獻(xiàn)，從而找到有效的方法剔除無(wú)效的方法，然后才可能有機(jī)會(huì)解決領(lǐng)域內(nèi)真正的大問(wèn)題。（有時(shí)候，有些著名問(wèn)題較容易的解決了，那只是因?yàn)閾碛羞m當(dāng)工具的合適的人以前沒(méi)有注意到這個(gè)問(wèn)題，但是対于研究很透徹的問(wèn)題一般不會(huì)這樣——尤其是那些已經(jīng)有很多“不行”理論和反例的問(wèn)題，這些理論和反例完全排除了一些著手的策略。）

因?yàn)轭?lèi)似的原因，你絕不應(yīng)該以得獎(jiǎng)或受到賞識(shí)為從事數(shù)學(xué)的主要原因。從長(zhǎng)期來(lái)看，更好的方式是去做好的數(shù)學(xué)和對(duì)你的領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)，最終獎(jiǎng)勵(lì)和賞識(shí)自然會(huì)來(lái)的（實(shí)至名歸）。

6、學(xué)習(xí)和再學(xué)習(xí)你的領(lǐng)域

數(shù)學(xué)研究中（包括你選擇的專(zhuān)業(yè)）學(xué)無(wú)止境。

例如我仍然在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)調(diào)和分析中的驚人之處，而我寫(xiě)出此領(lǐng)域的論文已經(jīng)十年之久了。只因?yàn)槟阒酪粭l基本引理X及其證明，你不應(yīng)低估這條引理的價(jià)值——你能找到替代證明嗎？你知道為何需要那些假設(shè)？已有了哪種推廣，或是作為猜想的推廣，抑或推廣的思路？對(duì)某些應(yīng)用，X是否有較弱的或是簡(jiǎn)單的形式？X在模型例子中起到何種作用？何時(shí)適合使用X？X能解決何種問(wèn)題，而對(duì)哪些無(wú)能為力？在其他領(lǐng)域有哪些相似的引理？X是否可以歸入一個(gè)更廣泛的綱領(lǐng)？對(duì)你的領(lǐng)域作講演尤其有用，或者寫(xiě)下講稿或其他的說(shuō)明材料，即使只為你個(gè)人服務(wù)。

通過(guò)內(nèi)心的速記，你最終能夠吸收即使是很難的結(jié)果，這不僅是你能夠輕松使用它們，而且可以省下精力來(lái)學(xué)習(xí)更多的東西。

7、不要害怕學(xué)習(xí)你的領(lǐng)域外的東西

人們普遍有數(shù)學(xué)恐懼癥。不幸的是，有時(shí)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家也有數(shù)學(xué)恐懼癥。如果為了在你的問(wèn)題中取得進(jìn)展需要學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這是件好事——你將拓寬掌握的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，同時(shí)你的工作將変得更有吸引力，不論是對(duì)你領(lǐng)域內(nèi)的人還是對(duì)其他領(lǐng)域的人。

如果一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域很活躍，那就值得去了解它為何如此引人，人們都在做些什么問(wèn)題，有些什么棒的或者令人驚訝的見(jiàn)解（insight）、現(xiàn)象、結(jié)果。那樣的話(huà)，如果你碰到了類(lèi)似的問(wèn)題、障礙或現(xiàn)象，你就知道從哪去找解決方法。

8、了解你的工具的局限性

數(shù)學(xué)教育（和研究論文）很自然地傾向于關(guān)注有效的技術(shù)。但是同等重要的是，知道你的工具何時(shí)失效，從而避免在從開(kāi)始就注定失敗的方法上浪費(fèi)時(shí)間，轉(zhuǎn)而尋找解決問(wèn)題的新手段（或?qū)ふ倚聠?wèn)題）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型狀況，就非常重要，同樣重要的是知道你的工具能夠處理的障礙和沒(méi)希望解決的障礙。同樣，你也應(yīng)知道在什么情況下其他方法可以替代你選擇的工具，而各種方法之間的優(yōu)劣各是什么。

如果你把最喜歡的工具視為一種“魔杖”，一點(diǎn)就把問(wèn)題神奇地給解了，可你卻沒(méi)有別的解法或其他方法來(lái)理解這個(gè)解答，這就表示你需要更好的理解這種工具（及其局限性）。