AIME數(shù)學(xué)競賽核心知識點(diǎn)體系
一、進(jìn)階代數(shù)這部分是AIME的絕對重點(diǎn)與難點(diǎn)
它遠(yuǎn)不止于求解方程，更強(qiáng)調(diào)代數(shù)結(jié)構(gòu)的洞察力與技巧性極強(qiáng)的變形能力。核心內(nèi)容包括：復(fù)雜函數(shù)方程的求解（需運(yùn)用賦值、迭代、構(gòu)造等技巧）、不等式的靈活證明（如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式的巧妙應(yīng)用）、多項(xiàng)式理論的深入（韋達(dá)定理推廣、因式定理、整數(shù)根判定）、數(shù)列與遞歸的復(fù)雜求解（特別是非線性遞歸與生成函數(shù)思想）。此外，代數(shù)與數(shù)論、組合的交叉問題也頻繁出現(xiàn)，要求能將問題成功“代數(shù)化”。
二、深度幾何
AIME的幾何題對綜合能力要求極高。它不僅考察平面幾何的經(jīng)典定理（如梅涅勞斯、塞瓦、西姆森線、圓冪、根軸等），更強(qiáng)調(diào)在復(fù)雜圖形中識別或構(gòu)造輔助線、利用相似與共圓、進(jìn)行三角或坐標(biāo)法計(jì)算的能力。解析幾何的應(yīng)用更為深入，常涉及圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線）與直線、多邊形的復(fù)雜交點(diǎn)與性質(zhì)。此外，立體幾何與幾何中的最值問題（常借助代數(shù)或三角工具）也是重要組成部分。
三、綜合數(shù)
數(shù)論是區(qū)分頂尖學(xué)生的重要領(lǐng)域，在AIME中達(dá)到競賽級深度。重點(diǎn)包括：模運(yùn)算的進(jìn)階應(yīng)用（求解高次同余方程、熟練運(yùn)用費(fèi)馬小定理、歐拉定理）、整除理論（包括算術(shù)基本定理的深入應(yīng)用、整除的進(jìn)階性質(zhì)）、丟番圖方程（特別是佩爾方程、勾股數(shù)方程及多元一次/二次不定方程的整數(shù)解求解技巧）、階與原根的初步概念。處理數(shù)論問題需要嚴(yán)密的邏輯推理和強(qiáng)大的整數(shù)感覺。
四、組合精要
此部分要求超越基礎(chǔ)的枚舉，掌握組合數(shù)學(xué)的深刻原理與高級技術(shù)。核心工具包括：容斥原理的復(fù)雜應(yīng)用、遞推關(guān)系的建立與求解、對應(yīng)與雙射的構(gòu)造思想、圖論的基本概念（如奇偶性、握手定理的應(yīng)用）、極端原理與不變量的識別與運(yùn)用。此外，組合恒等式的證明與應(yīng)用、概率進(jìn)階（條件概率、期望值）也常與計(jì)數(shù)問題結(jié)合考察，對邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和創(chuàng)造性思維要求極高。
五、復(fù)數(shù)與三角
復(fù)數(shù)不僅是數(shù)系的擴(kuò)展，更是強(qiáng)大的解題工具。需掌握復(fù)數(shù)的幾何意義（復(fù)平面）、三角形式（棣莫弗定理）、及其在旋轉(zhuǎn)、伸縮變換中的應(yīng)用。許多平面幾何和三角問題可通過復(fù)數(shù)法得到優(yōu)雅解決。三角學(xué)方面，則需熟練掌握和運(yùn)用各類恒等式、和差化積/積化和差公式、正弦/余弦定理，并能處理復(fù)雜的三角方程與最值問題，其與代數(shù)和幾何的結(jié)合十分緊密。總體而言，AIME的知識體系呈現(xiàn)出“少而精、深而活”的特點(diǎn)。
翰林AIME集訓(xùn)營
一、導(dǎo)師實(shí)力，戰(zhàn)績卓
本課程由北大本科、LSE金融統(tǒng)計(jì)碩士出身的金牌導(dǎo)師親授。導(dǎo)師本人擁有深厚的數(shù)學(xué)競賽背景與豐富的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)，所帶學(xué)生在歷年競賽中屢創(chuàng)佳績：2024-2025年度即有學(xué)員晉級USAMO并榮獲CMO（加拿大奧賽）國際組第一，多名學(xué)員AIME分?jǐn)?shù)達(dá)11-15分。其教學(xué)成果不僅體現(xiàn)在競賽晉級，更助力眾多學(xué)子斬獲加州理工、斯坦福、藤校等頂尖名校錄取。選擇他，就是選擇與成功同行。
二、課程大綱，精準(zhǔn)攻堅(jiān)
集訓(xùn)課程大綱直擊AIME高分壁壘，系統(tǒng)覆蓋五大核心模塊：數(shù)論（同余理論、LTE引理、歐拉/費(fèi)馬定理）、代數(shù)（函數(shù)方程、復(fù)雜不等式、多項(xiàng)式定理）、幾何（三角形多心問題、圓冪定理、基本解析與立體幾何）、組合（進(jìn)階計(jì)數(shù)、鴿巢原理、邏輯推理）及復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)幾何應(yīng)用。總計(jì)24課時，內(nèi)容設(shè)計(jì)緊扣高頻難點(diǎn)與高階技巧，旨在短時間內(nèi)構(gòu)建完整的AIME難題解題知識網(wǎng)絡(luò)。
三、節(jié)奏緊湊，高階引
本營定位為高強(qiáng)度“沖刺營”，默認(rèn)學(xué)員已具備AMC乃至初步AIME級別的系統(tǒng)知識。課程不重復(fù)基礎(chǔ)，節(jié)奏更快、密度更高，專注于難題（Problem 10-15）的集中突破與知識點(diǎn)的高階引申。通過高強(qiáng)度、高難度的專題精講與真題演練，旨在快速提升學(xué)員面對復(fù)雜問題的分析、拆解與解決能力，實(shí)現(xiàn)從“會做”到“快速做對難題”的質(zhì)變。
四、時間集中，高效突
我們科學(xué)利用雙旦假期，課程安排在2025年12月26日至2026年1月18日的周末與節(jié)假日，共12次課，總計(jì)24課時。每次課程2小時，時間安排緊湊合理，既能保證深度學(xué)習(xí)與訓(xùn)練強(qiáng)度，又便于學(xué)員集中精力、心無旁騖地投入沖刺。在短時間內(nèi)形成密集的學(xué)習(xí)“脈沖”，最大化學(xué)習(xí)效果。
五、目標(biāo)明確，直指高
分一切教學(xué)設(shè)計(jì)與訓(xùn)練均服務(wù)于明確目標(biāo)：沖擊AIME 10分以上。課程通過“核心理論精講→經(jīng)典難題剖析→模擬實(shí)戰(zhàn)演練→即時答疑復(fù)盤”的閉環(huán)，確保每一點(diǎn)努力都直接轉(zhuǎn)化為解題得分能力。我們不僅教授知識，更傳授在高壓競賽環(huán)境下穩(wěn)定發(fā)揮的策略與心態(tài)。加入我們，即是選擇了一條通往AIME高分的清晰、高效的沖刺路徑。名額有限，即刻鎖定席位，與頂尖導(dǎo)師和學(xué)霸同儕一道，在這個雙旦假期實(shí)現(xiàn)AIME分?jǐn)?shù)的決定性突破！
翰林AIME雙旦集訓(xùn)班
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