你真的知道數(shù)學(xué)最終學(xué)的是什么嗎？

Category: 國(guó)際學(xué)校 Date: 2018年7月24日下午5:45

美國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)對(duì)于大部分的中國(guó)孩子而言，除了語(yǔ)言上的障礙外，題目本身的難度并不高，尤其對(duì)于中國(guó)被稱(chēng)為“學(xué)術(shù)活動(dòng)黨”的這批孩子而言，更是小菜一碟。但是，我很喜歡解美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)題。因?yàn)樵谖铱磥?lái)，判斷題目的好壞并不在于題目本身的難度，而在于從題目中我們可以學(xué)到多少數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練方面，我認(rèn)為美國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)是有其過(guò)人之處的。

讓我先從一道簡(jiǎn)單的美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)題開(kāi)始。題目大致是這樣的：請(qǐng)問(wèn)下圖中至少有一個(gè)點(diǎn)接觸到外邊界的三角形占了所有三角形數(shù)量的百分之幾？

這似乎是個(gè)非常簡(jiǎn)單的題。當(dāng)然，對(duì)于答案而言確實(shí)再簡(jiǎn)單不過(guò)了。這里唯一有那么一點(diǎn)難度的，無(wú)非就是很多人讀不懂題目，無(wú)法理解什么叫做“至少有一個(gè)點(diǎn)接觸到外邊界”這句話。當(dāng)然，還有人理解為要計(jì)算各種邊長(zhǎng)的三角形數(shù)量，這個(gè)似乎把問(wèn)題復(fù)雜化了。這里我們暫且只考慮最小的那種三角形。

我先來(lái)解釋這句話。我們知道，三角形由三條直線所構(gòu)成，三條直線同時(shí)產(chǎn)生了三個(gè)角，顧名思義叫做“三角形（triangle）”。那么，顯而易見(jiàn)的是，下面的三角形是符合題目要求的。

這里很容易忽視的情況是，下面的這些三角形也同樣是符合題目要求的：

清楚了題目的意思，問(wèn)題就變成簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)了。但往往越是簡(jiǎn)單的問(wèn)題，越容易成為真正的問(wèn)題。這道題我給很多孩子做過(guò)，但我發(fā)現(xiàn)他們很多人都是一個(gè)一個(gè)在數(shù)，這顯然并非出題者的本意。讓我從計(jì)算全部的小三角形開(kāi)始說(shuō)起。

如何計(jì)算全部的小三角形數(shù)量呢？我們可以從幾個(gè)不同的角度來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題。

解法一：最常規(guī)的思路，直接每層的三角形數(shù)加總求和。我們觀察發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)10層由等邊三角形堆積而成的圖形。第一層1個(gè)三角形，第二層3個(gè)三角形，第三層5個(gè)三角形，……，第十層19個(gè)三角形。于是，問(wèn)題就變?yōu)檫M(jìn)行等差數(shù)列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和了。對(duì)于大部分孩子而言，這是很簡(jiǎn)單的高斯求和問(wèn)題，答案是：（1＋19）×10÷2＝100個(gè)。假如孩子熟悉平均數(shù)移多補(bǔ)少的思想，直接用這10個(gè)數(shù)字中間的兩個(gè)數(shù)9和11的平均數(shù)來(lái)計(jì)算：（9＋11）÷2×10＝100個(gè)，也可以得到同樣的結(jié)果。

解法二：按照三角形的形狀分步計(jì)算，先計(jì)算△形狀的三角形，再計(jì)算▽形狀的三角形，最后兩者相加求和。△形狀的三角形數(shù)為：1＋2＋3＋…＋9＋10＝55個(gè)；▽形狀的三角形數(shù)為：1＋2＋3＋…＋9＝45個(gè)；兩者相加：55＋44＝100個(gè)。

解法三：大膽探索，尋找規(guī)律。對(duì)于等差數(shù)列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”，大部分人的做法無(wú)非是解法一中的兩種方法，要么高斯求和，要么用平均數(shù)的思想。其實(shí)，這里還有更加巧妙的計(jì)算方法。由于這是一個(gè)累加的計(jì)算，那么我們來(lái)尋找一下累加的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)什么有趣的規(guī)律呢？我把累加過(guò)程做了一個(gè)表格。

我們經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，最后的結(jié)果居然是一個(gè)平方數(shù)。這是一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@意味著哪怕問(wèn)題變?yōu)?0層、50層、100層甚至更多的三角形堆積，我們同樣可以快速而又準(zhǔn)確地知道全部三角形的數(shù)量。這可能是這道題最重要的啟發(fā)之一。

那么為何“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和會(huì)是一個(gè)平方數(shù)呢？我們看下面的圖形應(yīng)該馬上可以明白其中的原因了，證明過(guò)程可謂是“proof without words”。

知道了如何快速計(jì)算這個(gè)結(jié)果，我們?cè)倩仡^看如何計(jì)算題目所要求的“至少有一個(gè)點(diǎn)接觸到外邊界的三角形”數(shù)量。這里同樣有不同的角度可以進(jìn)行計(jì)算。

解法一：因?yàn)檫@個(gè)堆積而成的大三角形本身也和小三角形一樣，是一個(gè)等邊三角形，那么我們只要計(jì)算其中一條邊就可以了。先計(jì)算△形狀的三角形，數(shù)量有10個(gè)，因?yàn)橛?0層；▽形狀的三角形是穿插在兩個(gè)△形狀的三角形中間，熟悉間隔問(wèn)題的同學(xué)們很快可以報(bào)出答案，是9個(gè)。于是，每條邊上符合題目要求的三角形有：10＋9＝19個(gè)。因而，三條邊一共有19×3＝57個(gè)。這里容易忽略的是邊與邊之間還有重復(fù)計(jì)算的三角形數(shù)，每個(gè)角有兩個(gè)三角形是重復(fù)計(jì)算的，故而有3×2＝6個(gè)三角形是重復(fù)計(jì)算的，需要減去。因此，符合“至少有一個(gè)點(diǎn)接觸到外邊界的三角形”數(shù)量為57－6＝51個(gè)。于是，最終的答案就是：51÷100＝51%。

解法二：通過(guò)全部三角形數(shù)量減去不符合條件的三角形數(shù)量而得到答案。前面已經(jīng)計(jì)算，全部的三角形數(shù)一共是100個(gè)。那么不符合條件的三角形數(shù)量有幾個(gè)呢？我們觀察發(fā)現(xiàn)，不符合題目條件的三角形是一個(gè)7層小三角形堆積而成的形狀，因此根據(jù)我們前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，一共有：7×7＝49個(gè)。兩者相減為：100－49＝51個(gè)。同樣可以得到答案。

通過(guò)如此簡(jiǎn)單的一道題目，我們學(xué)到了很多的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維方式。這就是為什么我認(rèn)為從啟發(fā)數(shù)學(xué)思維的角度來(lái)看，美國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)題是我喜歡的類(lèi)型。

再來(lái)解一道題，很常見(jiàn)的問(wèn)題：將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成若干部分，請(qǐng)問(wèn)：用5條直線最多可將圓形紙片劃分成多少部分？

同樣，只要多試幾次，我們很容易知道答案為16。但是，其實(shí)這不重要，這個(gè)答案不是這個(gè)問(wèn)題想要傳達(dá)給我們的知識(shí)，重要的是我們要從簡(jiǎn)單的數(shù)字中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，哪怕最后問(wèn)題變?yōu)?0條線、20條線甚至100條線，我們也可以快速回答出來(lái)。

題目要求的是5條直線，我們一開(kāi)始是很難知道16這個(gè)答案的，我們需要從簡(jiǎn)單的數(shù)字中去探索規(guī)律。1條和2條因?yàn)閿?shù)字太簡(jiǎn)單，似乎很難發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律，那么我們通常選擇一個(gè)折中的數(shù)字，比如3條線。為了發(fā)現(xiàn)如何畫(huà)可以盡可能多地分割這個(gè)圓，我給孩子們進(jìn)行了示范。如下圖所示：

我們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，3條線要分割出盡可能多的塊數(shù)，應(yīng)該使得新劃上去的直線與原有的直線在圓的內(nèi)部都相交，而且交點(diǎn)要不出現(xiàn)重合。為了讓規(guī)律來(lái)得更加顯而易見(jiàn)，我列了一個(gè)表格，其中一列為直線數(shù)，第二列為分割的快數(shù)，第三列為新增的快數(shù)，最后一列為我們可以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。如圖所示：

這是一個(gè)非常美妙的結(jié)果，也意味著哪怕題目要求50條直線甚至100條直線，我們都能馬上得到準(zhǔn)確的答案。

這兩道題之所以拿出來(lái)說(shuō)，是因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)，很多孩子學(xué)數(shù)學(xué)只關(guān)心答案而不注重思考的過(guò)程。我多次說(shuō)過(guò)：答案對(duì)很多時(shí)候只是巧合，不代表真正理解；思維方式和思考過(guò)程對(duì)了，答案只是水到渠成的事情。

我們從小學(xué)到大學(xué)，大部分的數(shù)學(xué)知識(shí)在我們走上社會(huì)之后都是用不到的，只有少部分人會(huì)用到復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的不是追求那個(gè)答案，而是從數(shù)學(xué)解題過(guò)程中我們能得到不斷訓(xùn)練的思維能力、推理能力、創(chuàng)造能力，等等。這些才是伴隨我們終生的能力，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以給予我們的最重要的東西。

很可惜，現(xiàn)在的教育在這方面做得很糟糕，出現(xiàn)了很多的問(wèn)題。教孩子機(jī)械地背公式、記答案、學(xué)解題套路，而忽略了學(xué)數(shù)學(xué)要掌握的最重要的方面。我遇到過(guò)一些孩子，看到問(wèn)題先是告訴我這是“某某問(wèn)題”，然后背一下這個(gè)問(wèn)題可能會(huì)用到的公式。然后，遺憾的是，背完公式之后就沒(méi)有然后了……還有一些孩子告訴我，他們的老師都是這么教他們的，叫他們必須背公式，從來(lái)不問(wèn)為什么。如果我認(rèn)同這樣的方法，我就不做現(xiàn)在的事情了。

然而，這究竟是為什么呢？我想，很多方面都是值得我們反思的！

以上就是關(guān)于【你真的知道數(shù)學(xué)最終學(xué)的是什么嗎？】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動(dòng)態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

上海IB二梯隊(duì)協(xié)和古北就讀體驗(yàn)：師資、課程、食堂全拆解