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N+1學(xué)院第7期：數(shù)學(xué)的故事 · 黃國標(biāo) | 美文篇

Category: AMC美國數(shù)學(xué)競賽, 國際競賽, 國際課程 Date: 2018年4月16日下午2:52

轉(zhuǎn)自N+1學(xué)院07標(biāo)哥BBC紀(jì)錄片《數(shù)學(xué)的故事》 ”

第一集：《數(shù)學(xué)：宇宙的語言》《數(shù)學(xué)：宇宙的語言》中提到古埃及分?jǐn)?shù)的運(yùn)用，我覺得很有意思。正好內(nèi)容中心在準(zhǔn)備古埃及數(shù)學(xué)文化，放假這幾天就去查閱資料，現(xiàn)和大家一起分享探討。

一、古埃及的分?jǐn)?shù)運(yùn)算
先用一個(gè)簡單的例子來理解下古埃及人的分?jǐn)?shù)運(yùn)算：如何將2個(gè)面包均分給3個(gè)人？
在現(xiàn)今所使用的分?jǐn)?shù)中，我們當(dāng)然都知道每個(gè)人取2/3。古埃及的人們，是怎么算的呢？
首先，把2個(gè)面包分為4個(gè)1/2，先給每個(gè)人1/2，還剩下1個(gè)1/2再3等分，平均分配。這樣每個(gè)人分到，即。有趣的是恰好就等。
好，下面我們正式進(jìn)入古埃及一個(gè)問題：如何將九塊面包等分給十個(gè)人？
這是記錄在《萊因德紙草書》的問題，因?yàn)榘＜肮と说男劫Y就是用食物和飲料來支付。那么古埃及人如何解決這個(gè)薪資分配問題呢？
古埃及人不是說每個(gè)人可以取得，而是說每人（視頻中有介紹）。真叫人難以想象，連都搞不清楚，？所以幾千年來，數(shù)學(xué)史家一直堅(jiān)持認(rèn)為，古埃及人不會(huì)使用分?jǐn)?shù)。
古代埃及人在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)。因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù)，或者叫單分子分?jǐn)?shù)。古埃及分?jǐn)?shù)最大的特點(diǎn)是用單分子分?jǐn)?shù)和的形式表達(dá)。如果遇到分子不是1時(shí)，就進(jìn)行分?jǐn)?shù)分解，例如剛剛提到的。
實(shí)際上《萊因德紙草書》的卷首載錄了一組分?jǐn)?shù)分解表，列出型的分?jǐn)?shù)分解結(jié)果，n是從3到101的奇數(shù)。古埃及分?jǐn)?shù)運(yùn)算方式，遭到現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們紛紛責(zé)難，認(rèn)為埃及人之所以未能把算術(shù)和代數(shù)發(fā)展到較高水平，其分?jǐn)?shù)運(yùn)算之繁雜也是原因之一。
埃及金字塔是舉世聞名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，難道最簡單的現(xiàn)代分?jǐn)?shù)也不懂？在探究這個(gè)問題前，我們先了解下古埃及人如何表達(dá)分?jǐn)?shù)。

二、古埃及如何表達(dá)分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)對(duì)市場中交易量的分配有著重要實(shí)際意義，古埃及正是因?yàn)檫@樣實(shí)際的問題，開始探索分?jǐn)?shù)應(yīng)用。那么古埃及人是怎么表達(dá)分?jǐn)?shù)呢？
答案是一個(gè)神秘色彩的符號(hào)——荷魯斯之眼（神靈之眼）。古埃及人將荷魯斯之眼拆解為6個(gè)部份，每個(gè)部份各代表著一個(gè)分?jǐn)?shù)，構(gòu)成一個(gè)等比級(jí)數(shù)，相加起來便是一個(gè)荷魯斯之眼，代表著1。即，事實(shí)上等式右邊尚差，但古埃及人將其舍去。
雖然埃及人在處停止了，但荷魯斯之眼暗示了更多分?jǐn)?shù)的可能。每次減半，總數(shù)無限接近于1，卻永遠(yuǎn)也到不了1.這是幾何級(jí)數(shù)的雛形埃及分?jǐn)?shù)可說是無窮級(jí)數(shù)的一種特殊表現(xiàn)形式，無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用就是對(duì)函數(shù)值逼近，所以用埃及分?jǐn)?shù)對(duì)函數(shù)值尤其是無理數(shù)估值自古以來就收到廣泛重視。
在古印度梵文經(jīng)典《測繩的法規(guī)》中需要造祭壇，就運(yùn)用埃及分?jǐn)?shù)來逼近π和。直到今天，人們對(duì)于許多函數(shù)值估算，也都是用埃及分?jǐn)?shù)的有限形式來逼近，例如。埃及分?jǐn)?shù)在無窮級(jí)數(shù)理論方面得到廣泛應(yīng)用，可見單分?jǐn)?shù)的思想無論在過去還是現(xiàn)在，一直在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著其積極作用。古埃及看似“奇葩”的分?jǐn)?shù)運(yùn)算蘊(yùn)含了大智慧。
那么接下來就遇到一個(gè)關(guān)鍵問題：任意一個(gè)真分?jǐn)?shù)能否拆成若干個(gè)埃及分?jǐn)?shù)和？

三、埃及分?jǐn)?shù)的本質(zhì)
研究埃及分?jǐn)?shù)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展起推動(dòng)作用，尤其在數(shù)論研究這個(gè)領(lǐng)域，有許多埃及分?jǐn)?shù)特性的問題被解決或留待解決.
研究始于一個(gè)古老的埃及分?jǐn)?shù)難題：老人彌留之際，將家中11匹馬分給3個(gè)兒子，老大1/2，老二1/4，老三1/6.應(yīng)該如何分馬呢？
二分之一是5匹半馬，總不能把馬殺了吧，正在無奈之際，鄰居把自己家的馬牽來，老大二分之一，牽走了6匹；老二四分之一，牽走了3匹；老三六分之一，牽走了2匹，一共11匹。分完后，鄰居把自己的馬牽了回去，即。
這則故事實(shí)際上提出了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如何把有理數(shù)分解成3個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。即能否存在整數(shù)，使得。經(jīng)過兩千多年的研究，這個(gè)問題已經(jīng)解決清楚。
數(shù)學(xué)家還更進(jìn)一步研究一般情況：埃及分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，就是能否把一個(gè)真分?jǐn)?shù)拆成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)的問題。即對(duì)于給定互素的正整數(shù)，不定方程，是否有正整數(shù)解？
斐波那契（Fibonacci）在其名著《算盤書》（1202年）中最先給出肯定的回答，并指出其具體算法，現(xiàn)叫貪心算法，但沒有證明。直到1880年，英國數(shù)學(xué)家西爾威斯特（James Joseph Sylvester）才給出第一次有效地證明。即：任給互素的，這樣的整數(shù)k和一定存在，滿足不定方程。
但是數(shù)學(xué)家們研究的步伐并沒有停止，思考在更嚴(yán)格的條件下，結(jié)論是否依然成立。即：對(duì)于給定互素的正整數(shù)，不定方程，在什么條件下有正整數(shù)解？
數(shù)學(xué)史上一些未解決的著名猜想就在于指定的特殊值上。例如，取，猜想對(duì)于所有，方程都有正整數(shù)解。
（注：是一個(gè)非常關(guān)鍵的特殊值，為什么取這個(gè)特殊值，需要很多證明推導(dǎo)）.
這就是關(guān)于埃及分?jǐn)?shù)最著名的世界級(jí)猜想——?dú)W德斯猜想。歐德斯-施特勞斯猜想（Erd?s–Straus conjecture），簡稱歐德斯猜想，是由匈牙利猶太數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什與德裔美國數(shù)學(xué)家恩斯特·斯特勞斯于1948年共同提出的數(shù)論猜想。

目前歐德斯猜想未被完全證明。我國已故數(shù)學(xué)家柯召先生于1978年的證明，即當(dāng)時(shí)，歐德斯猜想成立。包括菲爾茲獎(jiǎng)得主、華裔澳大利亞數(shù)學(xué)家陶哲軒在內(nèi)的名家都研究過歐德斯猜想，依然無法解決.

四、數(shù)學(xué)的故事
雖然歐德斯猜想還未能完全證明，但在2015年9月17日數(shù)學(xué)家陶哲軒宣布破解保羅·埃爾德什在1932年提出的另一個(gè)猜想：埃爾德什差異問題，這是個(gè)困擾學(xué)術(shù)界80多年的問題。
2013年，正值埃爾德什的百年誕辰，陶哲軒在其個(gè)人社交網(wǎng)絡(luò)貼出了一張頗有意義的照片：一位頭發(fā)花白、身著西裝的老人與一個(gè)穿著藍(lán)灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿著紙張，另一只拿著筆的手放在鼻子下面，小男孩也低頭注視著紙面。因?yàn)檫^于專注，兩人都沒有注意到鏡頭。

這是一個(gè)美麗的故事：照片中的老人就是保羅·埃爾德什，小男孩則是時(shí)年10歲的陶哲軒。這是陶哲軒第一次見到埃爾德什.六年之后，16歲的陶哲軒在埃爾德什的推薦下前往普林斯頓大學(xué)攻讀博士學(xué)位.三十年之后，40歲的陶哲軒破解保羅·埃爾德什差異問題。

看到埃爾德什與陶哲軒這樣美好的故事；想起希臘三賢：蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德是師徒孫關(guān)系。近代數(shù)學(xué)家傅里葉的導(dǎo)師是拉格朗日，拉格朗日曾受到大數(shù)學(xué)家歐拉的指導(dǎo)，歐拉的老師是約翰伯努利，約翰伯努利的老師是萊布尼茨....這些故事都讓我感受到人是核心，數(shù)學(xué)傳承才是最好的紀(jì)念。
在收集資料的過程中，感受到數(shù)學(xué)是那樣的自由，她容許各種奇思妙想，而這些奇思妙想往往也是推動(dòng)其發(fā)展的一大動(dòng)力.。這種想象力的發(fā)揮自然帶來藝術(shù)家一樣的創(chuàng)作快感，這就是思考數(shù)學(xué)的一大樂趣。
最后推薦下作家保羅·霍夫曼（Paul Hoffman）寫過一本埃爾德什的傳記《The Man Who Loved Only Numbers》，中文譯作《數(shù)字情種》。

【注】
《萊因德紙草書》
《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）是公元前1650年左右的埃及數(shù)學(xué)著作，屬于世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，作者是書記官阿默斯。內(nèi)容似乎是依據(jù)了更早年代（1849 B.C. ─1801 B.C.）的教科書，是為當(dāng)時(shí)的包括貴族、祭司等知識(shí)階層所作，最早發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學(xué)者萊因德（A. H. Rhind）購得，故以此命名。現(xiàn)藏于倫敦大英博物館。
《萊因德紙草書》

陶哲軒
陶哲軒12 歲獲得 IMO （國際奧林匹克數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)）金牌，21歲獲得博士學(xué)位，24歲被評(píng)為正教授，31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng)。現(xiàn)任教于美國加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）數(shù)學(xué)系，是澳洲惟一榮獲數(shù)學(xué)最高榮譽(yù)“菲爾茨獎(jiǎng)”的澳籍華人數(shù)學(xué)教授，是繼1982年的丘成桐之后獲此殊榮的第二位華人。
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