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數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?wù)律系臄?shù)學(xué)故事

Category: AMC美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽, 國(guó)際競(jìng)賽 Date: 2018年4月16日下午12:43

其中許多是“單項(xiàng)獎(jiǎng)”，獎(jiǎng)勵(lì)在某些方面（往往是用來(lái)命名的數(shù)學(xué)家有所建樹(shù)的領(lǐng)域）成就卓著的數(shù)學(xué)家。如歐拉獎(jiǎng)（Euler Prize）自1993 起在每年的國(guó)際組合數(shù)學(xué)年會(huì)上頒發(fā)給在組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。也有不少“終身成就獎(jiǎng)”，著名的有2001 年設(shè)立的阿貝爾獎(jiǎng)。該獎(jiǎng)由挪威王室一年一度頒給杰出數(shù)學(xué)家，獎(jiǎng)金達(dá)80 萬(wàn)美元，媲美諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金，是世界上獎(jiǎng)金最高的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

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本文我們將從國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)四大獎(jiǎng)項(xiàng)和國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)兩大獎(jiǎng)項(xiàng)，欣賞獎(jiǎng)?wù)拢私庀嚓P(guān)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)知識(shí)。?

菲爾茲獎(jiǎng)

菲爾茲（John Charles Fields,1863-1932 年）

菲爾茲獎(jiǎng)由加拿大數(shù)學(xué)家約翰? 查爾斯? 菲爾茲（John Charles Fields,1863-1932 年）建議設(shè)立。菲爾茲早年游學(xué)美國(guó)、歐洲，與諸多大數(shù)學(xué)家共事。其后返回加拿大致力于提升數(shù)學(xué)的地位。如在他努力下，1924 年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在加舉行。他自上個(gè)世紀(jì)20 年代末開(kāi)始籌備該獎(jiǎng)，并遺囑捐贈(zèng)$47,000給獎(jiǎng)項(xiàng)基金。菲獎(jiǎng)在1936 年首頒；后從1950 年起每隔4 年頒發(fā)一次，獎(jiǎng)勵(lì)40 歲以下數(shù)學(xué)成就杰出者，且旨在鼓勵(lì)獲獎(jiǎng)?wù)哌M(jìn)一步的研究。獲獎(jiǎng)?wù)咭话銥? 至4 人。該獎(jiǎng)有“數(shù)學(xué)界中諾貝爾獎(jiǎng)”之稱，其實(shí)它早期并無(wú)今日如此聲譽(yù)，這很大程度上源于歷屆獲獎(jiǎng)?wù)呓o它帶來(lái)的榮耀。菲爾茲獎(jiǎng)包括一面金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞鸵还P不算多的獎(jiǎng)金（目前為15,000 加元）。獎(jiǎng)?wù)抡嬗泄畔ＥD數(shù)學(xué)家阿基米德的頭像（Archimedes, 前287- 前212 年）和希臘文“ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ”，意為“阿基米德的（頭像）”；頭像周邊刻拉丁文“TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI”，此來(lái)源于一世紀(jì)羅馬詩(shī)人馬尼利烏斯（Manilius）的著作《天文學(xué)》，意為“超越他的心靈，掌握世界”。此外獎(jiǎng)?wù)略O(shè)計(jì)者（Robert Tait McKenzie）名字之縮寫(xiě)RTM 及設(shè)計(jì)年份MCNXXXIII（即1933 年，第二個(gè)M 字母以N 代）也刻在獎(jiǎng)?wù)律稀＋@獎(jiǎng)?wù)叩拿謩t會(huì)被刻于獎(jiǎng)?wù)逻呡啞?/p>

菲獎(jiǎng)?wù)卤趁婵逃幸鉃椤熬廴驍?shù)學(xué)家，為杰出著作而頒”的拉丁文“CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA?TRIBUERE”。文字和樹(shù)枝的背景為球體嵌進(jìn)圓柱體（“圓柱容球”）的示意圖，這象征著阿基米德的得意之作《論球與圓柱》中最著名的一個(gè)結(jié)果：球與其外切柱體的面積（體積）之比為2 : 3。阿基米德對(duì)此如此驕傲，以致他希望人們?cè)谒哪贡峡滔虑蚺c圓柱體的關(guān)系圖。確實(shí)，阿基米德計(jì)算各種面積所用的“窮竭法”可以被視作后世微積分學(xué)所用“無(wú)窮小分析”的起源。

球與其外切柱體的面積（體積）之比為2 : 3 ：若設(shè)球半徑為r，則球面積為4πr2，體積4/3πr3 ；而其外切柱體面積為6πr2，體積為2πr3

傳說(shuō)正沉思于幾何問(wèn)題的阿基米德被魯莽無(wú)知的羅馬士兵殺死之后，羅馬將軍馬塞勒斯悲傷不已，不但給阿基米德立墓，備極哀榮，并按他生前的愿望在碑上刻球內(nèi)切于圓柱的圖形。在公元前73 年，時(shí)任西西里島財(cái)務(wù)官的羅馬著名政治家、哲學(xué)家西塞羅（Marcus Tullius Cicero, 前106- 前43 年）去敘拉古（Syracuse）探訪阿基米德之墓。其時(shí)阿基米德去世才137 年，當(dāng)?shù)厝藚s已對(duì)阿基米德之墓一無(wú)所知，否認(rèn)有這樣一個(gè)墓。通過(guò)一番搜索，西塞羅終在雜草叢中憑此球內(nèi)切圓柱圖案辨認(rèn)出阿基米德的墓，并派人去清理繁蕪，鋪砌道路。西塞羅在他的文章中寫(xiě)道，找到阿基米德之墓后，他告訴敘拉古人，此刻他和敘拉古最杰出的人在一起，而這正是他一直在尋求的。后來(lái)一些畫(huà)家還將此刻情景凝固在油畫(huà)中。其中著名的有美國(guó)畫(huà)家本杰明?威斯特（Benjamin West, 1738-1820）1797 所作的油畫(huà)“西塞羅發(fā)現(xiàn)阿基米德之墓”（1804 年他另作一幅稍有差別的畫(huà)）。兩個(gè)名人穿時(shí)空的重逢確是值得紀(jì)念的。這種對(duì)文明的尊重彌足珍貴的另一個(gè)原因是對(duì)數(shù)學(xué)家的尊重在西塞羅那個(gè)時(shí)代是少見(jiàn)的。西塞羅曾寫(xiě)道“幾何學(xué)在希臘人中享有極高聲譽(yù)，沒(méi)有什么比數(shù)學(xué)更加榮光的了；但我們（羅馬人）卻只滿足于那些用來(lái)計(jì)算和測(cè)量的數(shù)學(xué)知識(shí)”。

今日意大利西西里島阿基米德家鄉(xiāng)敘拉古的“阿基米德的墳?zāi)埂边z址

類(lèi)似于阿基米德的“窮竭法”和圓柱容球的比例2 : 3，我國(guó)三國(guó)時(shí)代魏國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽也應(yīng)用類(lèi)似的極限思想求出了圓面積、一些錐體（如陽(yáng)馬與鱉臑）的體積。而且他還在評(píng)注我國(guó)算術(shù)名著《九章算術(shù)》時(shí)正確地猜測(cè)了球體積與其外切牟合方蓋體積之比等于圓與其外接正方形的面積之比（即π :4）。這里所謂的“牟合方蓋”是一個(gè)立方體從縱橫兩個(gè)方向做內(nèi)切圓柱的共同部分，因其外型酷似上下相對(duì)（牟合）的方傘（蓋）。中國(guó)家庭日常生活中常用的食物罩就類(lèi)似牟合方蓋的一半。

原來(lái)在《九章算術(shù)》的“少?gòu)V”章中記有“開(kāi)立圓術(shù)”，認(rèn)為直徑為D的球體積公式為

如果將π 取值為3，則該公式相當(dāng)于認(rèn)為球體積與其外切圓柱體積之比為3:4。劉徽指出這是錯(cuò)誤的，但他自己沒(méi)能求出牟合方蓋的體積從而得出正確的球體積計(jì)算公式，而是將這個(gè)問(wèn)題留給了后人，“以俟能言者”。

半球體積與圓柱體去掉錐體剩余部分體積相同（橫截面（圖中藍(lán)色部分）面積相同）

劉徽去世之后200 余年，南北朝時(shí)期的祖沖之、祖暅父子共同提出了祖暅原理：所有等高處橫截面積相等的兩個(gè)同高立體，其體積也必然相等（“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”）。該原理在西方常被稱為卡瓦列里原理，因由意大利幾何學(xué)家卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598 年-1647 年）重新發(fā)現(xiàn)。這可以看作是微積分學(xué)發(fā)展歷程中自阿基米德的窮竭法之后的一大進(jìn)步。祖氏父子正是利用此原理算出牟合方蓋的體積從而得出球體體積。

劉徽提出的球體體積與牟合方蓋的體積之比則是祖暅原理的直接推論：因?yàn)槲覀兛蓪⑶蝮w當(dāng)作由橫截的圓累積而成；若將這些橫截圓改為外接該圓的正方形，則所得立體即是牟合方蓋。我們這里僅簡(jiǎn)單介紹如何用祖暅原理來(lái)理解阿基米德提出的比例。在底面半徑和高均為r 的圓柱體中倒立一個(gè)以圓柱體上表面為底，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐。易由勾股定理得知半徑為r 的半球“赤道”上方y(tǒng)處橫截面（半徑為 √（r2—y2）?的圓）的面積為π(r2?－ y2) ；而等高處圓柱體的橫截面的面積（恒為πr2）去掉錐體的橫截面積（πy2）為π(r2－ y2)。由祖暅原理，半球體積等于圓柱體中除去圓錐體所剩部分之體積。我們知道內(nèi)嵌圓錐體體積是柱體體積的三分之一，因此半球體積是三分之二倍此圓柱體體積。

奈望林納獎(jiǎng)

奈望林納獎(jiǎng)由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟于1981 年設(shè)立，獎(jiǎng)勵(lì)在信息科學(xué)的數(shù)學(xué)方面有突出貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。它類(lèi)似于菲爾茲獎(jiǎng)，得獎(jiǎng)?wù)弑仨氃讷@獎(jiǎng)那一年不大于40 歲。該獎(jiǎng)包括一枚獎(jiǎng)?wù)潞筒糠知?jiǎng)金，每四年在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)頒發(fā)，且獲獎(jiǎng)?wù)叩拿忠矔?huì)被刻在獎(jiǎng)?wù)逻呡啞Ｄ瓮旨{獎(jiǎng)于1982 年首頒，有“計(jì)算機(jī)科學(xué)中諾貝爾獎(jiǎng)”之稱。奈望林納獎(jiǎng)是以紀(jì)念在1980 年去世的芬蘭最著名的數(shù)學(xué)家之一羅爾夫? 奈望林納（Rolf Herman Nevanlinna, 1895-1980 年）。奈望林納在函數(shù)論方面貢獻(xiàn)卓著，且在20 世紀(jì)50 年代開(kāi)啟了芬蘭的計(jì)算機(jī)項(xiàng)目。

1982 年，國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟接受赫爾辛基大學(xué)對(duì)該獎(jiǎng)的資助。獎(jiǎng)?wù)抡鏋槟瓮旨{的頭像以及文字“ROLF NEVANLINNA PRIZE”（“奈望林納獎(jiǎng)”）以及很小的字符“RH 83”（示意此獎(jiǎng)?wù)掠稍O(shè)計(jì)者 Raimo Heino 于1983 年首次鑄造），反面的兩個(gè)圖案都和赫爾辛基大學(xué)有關(guān)。奈望林納是赫爾辛基大學(xué)的教授，并曾任校長(zhǎng)。右下角是赫爾辛基大學(xué)的校徽，環(huán)繞校徽有赫爾辛基大學(xué)的名字“UNIVERSITAS HELSINGIENSIS”。左上角是文字“Helsinki”的編碼，這和該獎(jiǎng)的表彰內(nèi)容相得益彰。例如，2010 年獲得奈望林納獎(jiǎng)的Daniel Spielman 的一個(gè)主要貢獻(xiàn)即是關(guān)于編碼理論的。

高斯獎(jiǎng)

高斯獎(jiǎng)由德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)和國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟共同設(shè)立，以紀(jì)念“數(shù)學(xué)王子”高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），主要用于獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、技術(shù)乃至日常生活中有深刻影響的數(shù)學(xué)家。高斯獎(jiǎng)設(shè)立于2002 年，并于2006 年在馬德里召開(kāi)的第25 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上首次頒發(fā)。高斯獎(jiǎng)包含一筆獎(jiǎng)金和一枚獎(jiǎng)?wù)拢华?jiǎng)金目前為一萬(wàn)歐元，資金來(lái)源于1998 年在柏林召開(kāi)的ICM 的結(jié)余。高斯獎(jiǎng)?wù)抡磮D案均以數(shù)學(xué)中的基本元素點(diǎn)、線、曲線來(lái)構(gòu)圖。正面勾勒出高斯的頭像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“為應(yīng)用數(shù)學(xué)”）；反面為一曲線、一點(diǎn)和一方框組成的圖以表示高斯的偉大成就之一：以最小二乘法來(lái)確定行星的軌跡。這是應(yīng)用數(shù)學(xué)的典范。

1801 年元旦，意大利天文學(xué)家皮亞齊（Giuseppe Piazzi）發(fā)現(xiàn)了后來(lái)被命名為谷神星的小行星。皮亞齊跟蹤觀測(cè)了40 天后由于谷神星運(yùn)行至太陽(yáng)背后而丟失。科學(xué)家們開(kāi)始了利用皮亞齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)谷神星出現(xiàn)位置的學(xué)術(shù)活動(dòng)。時(shí)年只有24 歲的高斯運(yùn)用早在1794 年就創(chuàng)立的最小二乘法理論，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了谷神星的軌跡。同年底，天文學(xué)家Zack 在很接近高斯預(yù)測(cè)的位置上重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。

高斯繪谷神星的軌跡圖

1809 年高斯在題為《圍繞太陽(yáng)沿圓錐曲線軌道公轉(zhuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)理論》一文中，正式發(fā)表了最小二乘法理論。此前法國(guó)的勒讓德（Adrien-Marie?Legendre）也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了最小二乘法原理。不過(guò)高斯對(duì)最小二乘法的貢獻(xiàn)確實(shí)很大。他在1822 年證明了回歸分析中最小二乘法在一定意義上是最優(yōu)的。他還利用最小二乘理論，得出了拉普拉斯等人苦思不得的誤差分布——現(xiàn)在常稱的高斯分布。德國(guó)曾經(jīng)流通的10 馬克紙幣，以及一枚紀(jì)念高斯的紀(jì)念幣上，都有象征正態(tài)分布密度函數(shù)的“鐘形”曲線圖。獲得首屆高斯獎(jiǎng)的日本著名數(shù)學(xué)家伊藤清（Kiyoshi Itō, 1915-2008）的工作即是高斯獎(jiǎng)表彰對(duì)象的范例。伊藤清揭示了隨機(jī)王國(guó)的牛頓定律，開(kāi)創(chuàng)了“隨機(jī)分析”學(xué)。獲得1997 年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Robert Merton 和Myron Scholes 提出進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的Black- Scholes 模型即基于伊藤清的工作。雖然早在1900 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Bachelier 就已經(jīng)在他的博士論文中應(yīng)用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)研究金融問(wèn)題了，但伊藤清還是對(duì)他自己所研究的純粹概率理論能在金融數(shù)學(xué)里有著深刻的應(yīng)用感到吃驚。

2006 年9 月，國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席鮑爾爵士前往日本將首屆高斯獎(jiǎng)?lì)C給伊藤清

陳省身獎(jiǎng)

陳省身獎(jiǎng)是首個(gè)以華人名字命名的國(guó)際數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，它由陳省身基金和國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟共同設(shè)立，以紀(jì)念我們都很熟悉的數(shù)學(xué)家陳省身（Shiing-Shen Chern, 1911-2004），獎(jiǎng)勵(lì)給那些在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有杰出終身成就的個(gè)人。陳省身獎(jiǎng)于2010 年在印度海德拉巴市（Hyderabad）舉行的第26 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上首頒。

天津南開(kāi)大學(xué)陳省身樓旁的陳省身先生及其夫人鄭士寧女士的紀(jì)念碑（附：左下角為碑頂）（王龍攝）

陳獎(jiǎng)含一筆獎(jiǎng)金和一枚獎(jiǎng)?wù)隆＊?jiǎng)金為50 萬(wàn)美元，一半獎(jiǎng)勵(lì)給數(shù)學(xué)家本人，另一半獎(jiǎng)金由獲獎(jiǎng)人捐助給一些支持?jǐn)?shù)學(xué)的研究、教育和其它活動(dòng)的社會(huì)機(jī)構(gòu)，以推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。陳獎(jiǎng)也獲得哈里斯? 西蒙斯基金的支持。西蒙斯（James Harris?Simons，1938 年出生）算是陳省身先生的學(xué)生，也是他數(shù)學(xué)上的“六個(gè)朋友”（參《陳省身傳》）之一，他們?cè)献鞯玫綆缀卫碚搶?duì)理論物理學(xué)具有重要意義的Chern-Simons 理論。西蒙斯在1970 年代放棄數(shù)學(xué)去經(jīng)商，現(xiàn)為著名的投資家。他還大力支持科學(xué)事業(yè)，特別是數(shù)學(xué)事業(yè)。

陳省身獎(jiǎng)?wù)抡鏋闀r(shí)年73 歲的陳省身頭像，左為陳先生的中文簽名，右為英文簽名，右邊簽名下方刻“1911-2004”，表明他的出生和去世年份。獎(jiǎng)?wù)路疵鏋殛愂∩?944 年證明的廣義高斯- 博內(nèi)定理（又名陳- 高斯- 博內(nèi)定理）

這個(gè)公式的最簡(jiǎn)單情形就已經(jīng)足夠有趣：曲面上測(cè)地三角形的總曲率（高斯曲率的曲面積分）等于它的三角之和與π 的差。因此正曲率曲面（如球面）上的三角形三角之和大于π，而負(fù)曲率曲面（如雙曲幾何曲面）上的三角形三角之和小于π。零曲率曲面（歐幾里得平面）上，三角之和正好為π。

地球上大范圍三角之和大于π，而局部三角可以近似看作平面三角形，其和等于π

雙曲三角之和小于π

與陳獎(jiǎng)?wù)骂?lèi)似的是最近在南開(kāi)大學(xué)省身樓旁揭幕的陳氏夫婦紀(jì)念碑（今年為陳省身誕辰100 周年）。紀(jì)念碑正面為黑色花崗巖造“黑板”，上刻陳手書(shū)高斯- 博內(nèi)公式的證明，下刻陳省身夫婦的姓名。紀(jì)念碑整體橫截面為（雙曲幾何曲面上的）曲邊三角形，示意前述高斯- 博內(nèi)公式的簡(jiǎn)單情形。