要學好專業課，先學好數學

轉自“數字信號處理輔導”

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要學好專業課，先學好數學

王仕奎

 

電子信息類的專業課，非學好數學不可，否則將步履維艱。

電子信息本來是從物理學科分離出去的，沒有數學學不好而物理學得很好的。常言說的“數理”，即指數學和物理，這兩門學科聯系是很緊密的。數學需要物理來擴展范圍，物理需要數學來深化。但是，電子信息類課程的數學，就本科來說，我認為復數知識是至關重要的。

微積分固然重要，但是復數知識對于《信號與系統》和《數字信號處理》等課程，尤其更加重要。復數是一個強大的工具，復雜的過程，通過復數來描述，往往將變得很簡單，否則，僅僅用實數描述，困難將是不同尋常的。就拿我昨天給學生講的傅里葉級數來說，顯然按照高等數學的介紹，公式長得多，而且沒有進一步發展，即如果信號不是周期的怎么辦？如果是離散信號怎么辦？后續的討論將會很困難。復數在描述同時具有大小和方向的物理量，或者同時具有幅度和相位的物理量時，是很方便的，比僅僅用實數描述要優越很多。

同學們的數學基礎不好，因此學習起來很痛苦，這是當代初等教育改革失敗的充分體現，也是大學各級領導不能充分考慮課程的銜接，忽視部分數學內容學習的結果。不考慮數學的實際，胡亂設置教學計劃，該學的不教，用處不大的反而亂教，都是誤人子弟的表現。是該對我們的教育進行深刻反思的時候了。

在我主持編輯的公眾號《許康華學術活動優學》上，最近連續三天發了大數學家陳省身先生的報告《怎樣把中國建為數學大國》，陳先生說，沒有復數，就沒有電學，就沒有現代文明，這句話一點也不夸張，恰如其分地說明了復數的重要性。

 

電子信息類專業課程，根據性質的不同，可能重點用到的數學知識不同，有的微積分用得多，有的三角函數用得多，但是，對于本公眾號，即進行數字信號處理系列課程輔導，毫無疑問，復數是最重要的，非下苦功學好不可。只有學好數學，才談得上專業課的其他各種學習技巧；否則，連走路都不會的人，和他講跑步和跳遠的各種技巧，不是太可笑了嗎。

要學好專業課，先要學好數學！

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附：陳省身《怎樣把中國建為數學大國》

怎樣把中國建為數學大國？

陳省身

 

本文刊于數學進展，第20卷第2期，1991年4月。

1990年10月26日在臺灣成功大學，10月29日在中興大學演講。本文將收錄至《陳省身文選》(臺灣聯經出版杜出版)。應《陳省身文選》編者張洪光同志之請，陳省身教授將本文于1990年12月10日寄給他供工作之用，我們按張洪光同志的供稿刊出。

——《數學進展》編輯注

一、引言

先從我個人說起：我1926年入天津南開大學，1930年數學系畢業。那時我的老師姜立夫先生是極少數有博士學位的人。現在聽說在臺灣的數學博士在二百人以上，全世界的中國數學博士當超過千人。在這樣的基礎上，如何使中國的數學發展，使在廿一世紀的數學史上，中國是一個重要的區城，自然值得我們深思。

今年一件值得慶祝的事，是中國在國際數學學術活動(International Mathematical 0lympiad)獲得第一(第二、三名依次為蘇聯及美國)。不但如此，中國總分超出第二名蘇聯甚遠。參加者中，有四人得滿分，其中兩個是中國人。中國參加這學術活動不久；1988年得第二名，去年(1989)也是第一名。

這項學術活動是高中程度，不包括微積分。但題目需要思考，我相信我是考不過這些小孩子的。因此有人覺得，好的數學家未必長于這種考試。學術活動勝利者也未必是將來的數學家。這個意見似是而非。數學學術活動大約是在百年前在匈牙利開始的：匈牙利產生了同它的人口不成比例的許多大數學家！

在最高深最活躍的數學方面，中國數學家亦有許多杰出的工作，無法盡舉，簡述若干如下：(一)1983年丘成桐教授因為Calabi 猜想及普通相對論的正質量猜想的證明，獲得國際數學會議的Fields獎章，這是一個重要的國際數學獎。(二) 美國數學會每年選擇一個最活動的專題，作為暑期節目(Summer Institute)的中心課題，集國際上這方面的專家，舉行為期約三周的工作營。1988和1990的題目分別是“多復變函數”和“微分幾何”。這兩科目里中國數學家是突出的。微分幾何會丘成桐是主持人之一。兩會中作特約演講者有蕭蔭堂、莫毅明、田剛、項武義、李偉光等。中國這方面的人數，超過百人。其中才智之士，即將脫穎而出者，不可勝數。舉莫毅明教授為例，他現在是巴黎大學教授。巴黎是二十世紀大數學家龐加萊(Henri Poincare)的根據地。莫毅明班門弄斧，令人佩服。(三) 項武義教授最近解決了球裝(Sphere Packing) 的問題。這問題有近四百年的歷史，是一項富有歷史意義的工作。

這個單子還可繼續寫下去。近年來中國數學家的貢獻，是不可忽視的。

數學是什么？數學家究竟做些什么事？一個嚴格的定義會引我們進入一死胡同。大致說來，數學利其他科學一樣，它的發展基于兩個原因：(一) 奇怪的現象；(二) 數學結果的應用。一個例子是以下的“幻方”，其中的九個不同的數目，橫加、直加，和沿兩條對角線的和都是15。可惜幻方只是一個奇跡，沒有什么應用。另外的一個奇跡，圓周長L對直徑d的比率，L/d = π，是一個常數。這個結果可是重要了！π這個數滲透了整個數學!

 

楊振寧先生講過這樣的故事：我們都知道，德國大數學家高斯(C. F.Gauss，1777-1855)在讀小學的時候，老師出了一個題目：求1 + 2+ 3 + … + 某數的和。同學們都用死算，高斯卻獲得一個公式、可以立刻求得答案。方祛是命

S = 1 +2 + 3 + … + n，

將各項倒過來寫，則得

S = n + (n- 1) + (n - 2) + … + 1。

由此可見每列兩個數的和都是n?+?1。因有n?列，得

2S = n(n + 1)??即??S = n(n?+?1)/2。

振寧把這算法講給他的孩子聽，大家都了解和欣賞。但一年后問起這個問題，卻都忘了。楊振寧、陳省身同比我們更聰敏的人不同的地方，是我們了解這個推論的美、的力量，聽過之后，永遠不忘。

談到數學的欣賞，讓我再講一個故事：當代有名的數論大家Atle?Selberg?(1917- )?曾經說，他喜歡數學的一個動機，是以下的公式：

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -…。

這個公式實在美極了，單數1，3，5，…這樣的組合可以給出π。對于一個數學家來說，此公式正如一幅美麗的圖畫或風景。凡讀過初等微積分的人大多應碰到這個公式。如果只因為考試而背誦它，這個人便不必讀數學。

二、數學史上的幾件大事

不管數學是什么，數學家在繼續推展它的范圍。最奇妙的，是新數學得到不能想像的應用。數學工作的主要目的，是了解新數學的性質，尤其是它與傳統數學不同的地方。結果把奧妙變為常識，復雜變為簡單，數學便成為科學的有力而不可缺少的工具。

茲舉數學在歷史上的若干進展為例：

(一) 一本劃時代的書是歐幾里得 (Euclid，約300 BC) 的“幾何原本”。它把空間的幾何性質，從一組公理出發，用邏輯推得。歐書范圍其實不限于幾何。這本書把數學建為一項系統的學間，不再是一堆匯集的問題。歷史上有一段時間，歐書也用來練習推理，成為一本通俗的教科書。

(二)?歐書討論的范圍，限于平面上的直線、圓周、和空間的相當圖形。等到Descartes(1596 - 1650)?引進解析的方法，便可研究平面上由任意方程

所定的曲線。幾何的范圍擴大了！?但任意曲線或任意函數的研究要等Newton?(1642- 1727)和Leibniz?(1646 - 1716)?的微積分的發現，才特別有效。這個時期另一個重要的數學家是Fermat?(1601- 1665)。他同時發現了許多解析幾何和微積分的觀念，可惜他在生前未曾發表。

(三)?微積分的一個基本新觀念是無窮：?無窮大或無窮小。由無窮便引到極限。澄清這些觀念不是一件容易的事，費了數學家約兩百年的時間。它牽涉到實數系統、拓撲和數學的基礎。一個關鍵的人物是Cantor?(1845- 1918)。他的點集論獨創新意，高腧遠矚，為數學立了基礎。

(四)?數學上另一個基本概念是群。最早的問題是解代數方程，要把任意方程

的根表為系數的只含根號的函數。要回答這個問題，需要群的觀念。最先認清這個關系的，是法國的年輕數學家Galois?(1811- 1832)。群的觀念從此深人到每個數學領域。

在幾何方面有變換群。?歐氏空間的全體運動組成一個群。其他還有投影變換群，等角變換群等等。這種群是無限的，他的元素組成一個空間。他們都是李群的特例。創始人Lie(1842- 1899)?是挪威的數學家。?李群是數學上一個基本的概念。

有限群的研究是很困難的。要了解它們的結構，數學家把它們分解為單群。但是單群并不“簡單”：有許多極大的有限單群。當代領袖的代數學家說：有限的單群已經完全確定了。可是這個定理的證明，需要二千頁，也還沒有人把它完全寫下來。

(五)?上面說過，解析幾何推廣圖形的范圍。最普通的一個情形，是在n維空間Rn內，討論一組方程式

流形把空間的觀念擴大了。在微分流形上可以用微積分的工具，實施種種運算。這個發展使微分幾何成為數學的一個中心領域。

(六)?請容許我談一些同我個人工作有關的一個方面，即所謂纖維叢和連絡。我們有種種特殊的空間，如歐氏空間、矢量空間、仿射空間等等。我們也有一般的拓撲空間。前者有深刻的性質，后者富于普遍性。纖維叢是把兩者串連起來的一個觀念。它是一個自然的發展，也十分有用。它有局部的性質和整體的性質。?前者容易描寫和度量，后者選出重要的性質。纖維叢的現象出現于數學的各部門，?和理論物理。

物理上有四種力：核力、電磁力、引力和弱力。現在大家公認：這四種力的能都是規范場。纖維叢的連絡是規范場論的數學基礎。

三、當前的數學界

二十世紀數學的一個現象，是職業數學家人數的大量增加。美國幾個數學會的全體會員錄列五萬六千多人，其中絕大多數是有博士學位的。

數學成為一個社會現象，大約發生于一百年前。今年德國數學會慶祝成立一百周年。前年則有美國數學會成立百年紀念。國際數學家會議的首次會于1897年在瑞士Zurich舉行，會期三天。第一個演講者是法國的龐加菜，題目是“純分析同數學物理的關系”(龐氏因病未能出席，演講由人代讀)。值得注意的是這題目今天仍適用，但“分析”似應改為“幾何”。國際數學會議每四年舉行一次，今年八月在日本京都。1994年將回到Zirich開會。

另一個現象是計算機的侵入。計算機引發了許多新的課題，如Recursive Functions，如Complexity，如Fractals等等。它對于許多數學工作有用，也使若干問題改觀。但究竟影響有多大，則是一個聚訟的問題。數學天地雖小，也是很熱鬧的。

計算機的立刻的影響，恐怕是數學教育。從前需要學習的某些方法，現在不再需要，至少應該改變。這種討論對于數學的發展是健康的。

第二次世界大戰以后，科學受到重視，數學研究也得到社會的支持。有些人可靠做研究生活。這個情形的一個效果，是使得數學工作者同相類的工作者有相類的待遇，因此能吸收有才能的新人進入工作的行列。

一個發展是研究所的成立。最早而最有名的是Princeton 的Institute for Advanced Study。這個故事值得一講！二十年代美國紐約的大百貨公司Macy公司的老板Louis Barmburger決定捐一大筆款辦理科學事業，問計于教育家W. Flexner。F先生的建議說：“你的捐款數目很大，但是不足以辦一個第一流的試驗科學研究所。如果側重數學，則可能是第一流的”。B 先生聽了他的話。恰好德國希特勒于1933取得政權，IAS請到愛因斯坦、Hermann Weyl 等教授。不出十年，Princeton 成了世界數學研究的中心。

IAS?的主要節目，是網羅年輕有為的數學家，給他們優良的環境和工作機會。作者第一次在那里，是1943 -45，完成了我一生最重要的工作。此恩令人難忘。以后我還去過三次(短期訪問不計)，都給我愉快的回憶。

繼起的研究所有：巴聚的Institut??des?Hautes?Etudes，英國Warwick?的Mathematics Institute，日本京都的Mathematical?Sciences?Research?Institute，Bonn?的Max?Planck?Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的有蘇聯列寧格勒的研究所，和正在計劃中的英國劍橋的牛頓研究所。這些研究所都有著名的常任研究人員，廣泛的節目，也十分歡迎合格的訪問數學家。

講到研究所，自然應提到Berkeley?的MSRI，因為我曾經起過若干作用。這是美國國家基金會支持的，是美國第一個政府辦的數學研究所。在一個民主的國家，這種事要經過長期的醞釀。等到決定舉辦以后，它的地點更是大家爭逐的目標。?我同I. Singer及C. C. Moore?送進一份計劃書以后，沒有做過任何爭取的努力。我可以想像Berkeley?計劃的優點，獲選并非偶然。1982年成立以來，備受好評。

盡管大家鼓吹交流和合作，我相信數學研究主要靠個人。一個人的創見是努力和靈感的結晶，不是同一群人討論的結論。數學是一個廣泛而復雜的學間，自然需要吸收各方面的知識和觀點。但更要緊的是要有個人的風格。

數學的研究與其他科學相比，?有一個顯著的不同的地方：它是向多方面發展的。當今的物理科學和生物科學往往有幾個主題。但數學的研究方向比較可隨個人自由選擇。所以工作不必集中于幾個大的中心，研究人員可較分散。一個有能力有決心的人，可以隨不同的途徑，完成他的志愿。

二十世紀是數學的一個黃金時代。

四、純粹數學與應用數學

數學上一個極大的謎是：為什么數學會有用？

近來一種風氣，是在數學機構上，加“應用”兩字。其實純粹數學與應用數學是很難劃界的。再舉一個例：代數拓撲中有所謂“結”論(knot theory)，問空間繩子的結，是否可不經剪斷而解開。例如下圖的梅花結就解不開。這個問題在分子生物學DNA的結構研究中，極為重要。所以生物學家需要學微分幾何與代數拓撲。柏克菜的V. Jones 教授因為“結”論與算子代數的工作，獲國際數學會的1990年Fields獎。他引進了結的新的不變式，現稱為Jones 多項式。

科學的發展需要數學。但是歷史告訴我們，他們所需要的數學，往往為數學家所已發展。這是數學家值得自豪的，也是一件十分神秘的事實。

我相信數學是有內容的，不完全是邏輯。廿世紀數學中的菩薩包括黎曼(Riemann)、龐加萊。大致說來，黎曼把數學建立在流形的觀念上，龐加萊則發展高維的數學。流形不必光滑，非緊致的流形將有更多幾何性質，若千無限維流形會有美麗的現象，這些都是可以期望的遠景。

兩千年的數學發展是連續的。這個現象當可繼續。不過十一世紀的數學將是一個新的天地。世變不可知，可引以自慰的是數學是一個堅固的結構。我想有人類就有數學！

五、結??論

中國數學的發展已具有充分的條件，不妨考慮一下當前有些什么事可做：

(1) 要有信心。千萬把自卑的心理放棄，要相信中國會產生許多國際第一流的數學家。也沒有理由中國不能產生牛頓、高斯級的數學家。

法國文學家Romain?Roland?寫過一本書，?記載中古時代德國音樂家在羅馬的故事。羅馬人笑他們，這種野蠻的人，如何懂音樂？?沒有多少年德國出了Bach，Beethoven。我做學生的時候，曾經看見日本人寫的文章，說中國人只能習文史，不能念科學。這種荒謬的說法當時也可言之成理。

中國應建立若干基地。交流仍是必要的，但應求逐漸對等。

(2) 希望社會能認識中國成為數學大國是民族的光榮，而予以鼓勵和支持。例如：不要把數學家看成“怪人”。中國沒有出牛頓、??高斯這樣偉大的數學家是社會的、經濟的現象。中國的大數學家，如劉徽、祖沖之、李治等都生逢亂世。我想治世時聰敏人都去求功名做官去了。這情形現在并沒有改變。要提倡數學，必須給數學家適當的社會地位和待遇。

愿中國的青年和未來的數學家放大眼光展開壯志，把中國建為數學大國！

(1990年11月于美國加州)