馬克思的微積分筆記1

從前，有一位叫做馬克思 普朗克(Max Planck)的很帥的物理學(xué)家。有一天，他正在思考黑體輻射問題。他看了一下旁邊的鐘正一秒一秒的過去。于是他突發(fā)奇想，會(huì)不會(huì)能量也是像鐘的秒針這樣，是一份一份的走的呢。于是他建立了量子理論，普朗克的鐘(單身可撩)的故事也由此傳開...

AP考試是一個(gè)美國大學(xué)理事會(huì)（Comfirmed Bitch）提供的大學(xué)先修課程，對(duì)于要出國的小伙伴肯定不陌生啦，還是建議準(zhǔn)備出國的小伙伴去考一下?？颇亢芏啵蠹铱梢宰孕羞x擇，現(xiàn)在正在報(bào)名哦。微積分呢作為中國學(xué)生的幾乎必考科目，也是備受大家的關(guān)注。

其實(shí)AP的微積分，相對(duì)起中國的高數(shù)課來說還是很簡單的。只要大家稍微認(rèn)真點(diǎn)，自己拿個(gè)5分還是沒問題的。

函數(shù)

函數(shù)說白了就是微積分的研究對(duì)象。函數(shù)的知識(shí)呢大家也都學(xué)過，唯一稍微需要提及的地方就在于參數(shù)方程和極坐標(biāo)。參數(shù)方程其實(shí)就是我們寫不出x和y的直接聯(lián)系，但是我們發(fā)現(xiàn)他們和一個(gè)共同的變量的關(guān)系很好寫出來，所以就發(fā)明了參數(shù)方程（請(qǐng)大家自行想一下擺線的例子）。關(guān)于極坐標(biāo)就是把笛卡爾坐標(biāo)系的橫豎兩個(gè)變量換成角度和到某個(gè)點(diǎn)的距離，這樣呢很多東西都更方便了。比如大家可以想想，在圓的例子中，r和角度有什么關(guān)系（這個(gè)問出來讓ads一度尷尬了30秒鐘）

好了函數(shù)本身也沒什么好講的了。不管是多復(fù)雜的一個(gè)函數(shù)還是形式的函數(shù)，其本質(zhì)都是一樣的，那就是一個(gè)東西怎么變，另外一個(gè)東西跟著怎么變，只不過我們把他用數(shù)學(xué)描述出來了而已。

極限

微積分里面第一個(gè)最重要的概念就是極限了。AP課程里面沒有嚴(yán)格的定義極限，不過我們還是稍微了解一下。所謂無窮小，就是你隨便說一個(gè)多小的東西，它都可以比你說的那個(gè)東西還要小。
一般呢AP就給你一個(gè)除式，讓你算一下當(dāng)x趨近于某個(gè)極限時(shí)y是多少，通用的套路呢就是上下同時(shí)除以一個(gè)最高次數(shù)項(xiàng)，這樣第次數(shù)的東西變成了x分之一，所以趨近無窮大時(shí)這些就都變成0了。大家可以自己想一想當(dāng)上下的最高次數(shù)不一樣時(shí)，他們的規(guī)律是什么。初次之外呢還要注意一下正無窮和負(fù)無窮的一個(gè)微小的區(qū)別，比如這個(gè)perfect example:

這個(gè)例子就把負(fù)無窮的概念出來了，因?yàn)橄旅嫫椒皆陂_根就變成正了，而上面還是負(fù)，所以整個(gè)極限就是-3.

除此之外呢就是一個(gè)叫做夾逼準(zhǔn)則的東西，英文也叫做sandwich theorem，就是下圖。

就是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，一個(gè)函數(shù)大于函數(shù)a，小于函數(shù)b，然后a，b在某個(gè)點(diǎn)的極限相同，那么這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)也取這個(gè)極限。好了這個(gè)也是一個(gè)很自然的定理，我覺得也不需要什么嚴(yán)格的證明了，那么現(xiàn)在我們就來應(yīng)用一下：

我們求這兒一個(gè)極限的大小。這個(gè)極限其實(shí)并不是那么容易可以直接求得的，但是我們可以利用夾逼準(zhǔn)則快速的求出來，只需要通過這滅那個(gè)這個(gè)東西始終在cos x 和1 之間就行了，而我們恰巧有知道這兩個(gè)在0的極限都是1. 當(dāng)然在證明中我們今天遇到一個(gè)問題, 就是我們一味的象征這個(gè)不等式成立, 忽略了他們的范圍, 我們這兒只需要考慮0到一個(gè)地方就行了, 因?yàn)槲覀冴P(guān)心的是0嘛.? AP里面關(guān)于這個(gè)極限的考法無非就是把x換成5x之類的，本質(zhì)是不變的。

還有就是連續(xù)的概念了，由于這個(gè)也不是特別重要，大家只需要記住連續(xù)的三個(gè)條件就可以了：分別是在此點(diǎn)有定義，有極限，以及這個(gè)極限等于此點(diǎn)的函數(shù)值本身。其實(shí)第二個(gè)條件是包含在第三個(gè)里面的，所以國內(nèi)的教材一般寫的是兩個(gè)條件。

好了，今天就只講了這些東西，下次去給ads上課的時(shí)候再給大家補(bǔ)充好了。
說起微積分，還是推薦幾個(gè)學(xué)習(xí)微積分的途徑好了（這就不以ap為參考了）。

1. 《Calculus》 作者 James Stewart.
這本書應(yīng)該是全球最又名的微積分教材了（同時(shí)還有托馬斯微積分，不過個(gè)人沒看過就不推薦了），將的非常好，最重要的是習(xí)題和答案編的非常好。另外stewart先生也是有名的小提琴家?？梢哉f是是男神本神了。

2. ?《微積分學(xué)教程》 作者 菲赫金哥爾茨
這是三本典型的俄羅斯教材，眾所周知，俄羅斯的教材非常變態(tài)（比如經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法，嗯, 買回來發(fā)現(xiàn)是本數(shù)學(xué)書）。這本書呢應(yīng)該是微積分里的百科全書了，小鐘也一直保留著這本書在電腦里面，可以說只要是有關(guān)微積分的問題，這里都可以找到答案。

3.? MIT微積分公開課 微積分重點(diǎn)
這個(gè)直接上網(wǎng)易公開課搜索微積分重點(diǎn)就行了。這個(gè)教授講的非常好（畢竟MIT），他還開了一個(gè)線代課程也很好，內(nèi)容也是高中能聽懂的水平。對(duì)于不想看書的同學(xué)這個(gè)真的是絕好的材料了。

4.? PengTitus的YouTube頻道
Peng老師是臺(tái)灣的一名醫(yī)生，不過在美國完成了物理專業(yè)的學(xué)習(xí)，上課的風(fēng)格呢雖然不是特別激情，但是內(nèi)容真的安排的特別棒。他的頻道上還有很多東西，比如小鐘的變分法和時(shí)空?qǐng)D就是受教于這位老師。當(dāng)然這個(gè)在油管上對(duì)于大家也是一個(gè)比較麻煩的事，所以就看自己啦。

好了，關(guān)于微積分就是這些。小鐘發(fā)現(xiàn)有一些對(duì)物理剛開始感興趣的朋友不那么喜歡數(shù)學(xué)。但是其實(shí)隨著物理的深入學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)真的是離不開的，而且也會(huì)越來越有趣，如果說物理是要研究A和B的話，那數(shù)學(xué)就是要研究A to B的這個(gè)箭頭，當(dāng)這些箭頭拼起來的時(shí)候，物理的網(wǎng)絡(luò)也就自己形成了。

好了今天還是讓費(fèi)曼先生幫我們結(jié)尾吧。

Physics is to math what sex is to masturbation.

-----Richard Feynman