圓中的最值問(wèn)題

最簡(jiǎn)單的道理

圓中最長(zhǎng)的弦是直徑。直徑不可能不是最長(zhǎng)的弦．

在上面的圖中，如果AC≥AB，又AB=AO+CO，那么AC≥AO+CO．

這是與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾了．所以，圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．

看一個(gè)動(dòng)態(tài)的圖

看了上面的動(dòng)態(tài)圖，想必你已經(jīng)知道“不在一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”了

再看一個(gè)你已經(jīng)知道的定理

圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．

反之，如何讓四個(gè)點(diǎn)同在一個(gè)圓上呢？

只要讓以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)就可以了．

引入正題

如圖，C、D是在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)的兩點(diǎn)且與A、B兩點(diǎn)不重合，E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，若CD=4，AB=10，則EM 的最大值是______．

思考一下，再往下看。。。。

略解

連結(jié)OM∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴OM⊥CD，∴∠CEM+∠CMO=180度，∴C、E、O、M四點(diǎn)共圓．∵∠CEM=90度，∴CO是這個(gè)圓的直徑，∴EM≤CO=5，即EM的最大值是5．

（CD=4這個(gè)條件是沒(méi)有用的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？）

動(dòng)圖解釋

本題考查要點(diǎn)：

直徑最長(zhǎng)垂徑定理的推論四點(diǎn)共圓的判定

沒(méi)有為國(guó)王特設(shè)的通往幾何學(xué)的道路。——Euclid（歐幾里得）音樂(lè)的美由耳朵來(lái)感受，幾何的美由眼睛來(lái)感受。

——丘成桐