代數(shù)幾何在物理學(xué)中的應(yīng)用

代數(shù)幾何（Algebraic geometry）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支學(xué)科，基本研究對象是在任意維數(shù)的（仿射或射影）空間中，由若干個代數(shù)方程的公共零點所構(gòu)成的集合的幾何特性。代數(shù)幾何把抽象代數(shù)， 特別是交換代數(shù)，與幾何結(jié)合起來，被認(rèn)為是對代數(shù)方程系統(tǒng)的解集的研究。

代數(shù)幾何是數(shù)學(xué)的一個分支，是將抽象代數(shù)， 特別是交換代數(shù)，同幾何結(jié)合起來。它可以被認(rèn)為是對代數(shù)方程系統(tǒng)的解集的研究。代數(shù)幾何以代數(shù)簇為研究對象。代數(shù)簇是由空間坐標(biāo)的一個或多個代數(shù)方程所確定的點的軌跡。

例如，三維空間中的代數(shù)簇就是代數(shù)曲線與代數(shù)曲面。
代數(shù)幾何研究一般代數(shù)曲線與代數(shù)曲面的幾何性質(zhì)。代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，如復(fù)分析、數(shù)論、解析幾何、微分幾何、交換代數(shù)、代數(shù)群、拓?fù)鋵W(xué)等。

代數(shù)幾何的發(fā)展和這些學(xué)科的發(fā)展起著相互促進的作用。近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具，這預(yù)示著抽象的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。

從非常表面的角度看，物理中使用代數(shù)幾何的場合主要是“必須直面奇點”的時候，也就是說當(dāng)奇點具有重要物理意義的時候。面對有奇點的問題，最自然的想法就是考慮如何把奇點變光滑（resolution），這時候代數(shù)幾何就變得很有用。

比如，Calabi-Yau GLSM 的物理參數(shù)，比如 FI 參數(shù)，會控制相應(yīng)的 CY 3-fold 的幾何，但是當(dāng)這些參數(shù)變動到某個值時，這個 3-fold 可能會建立奇點，而后當(dāng)參數(shù)離開這個值，奇點消失，但是相應(yīng)的 CY 幾何和拓?fù)浒l(fā)生了變化。Mirror symmetry 會關(guān)心這個“奇點誕生-消滅”的過程在 Mirror CY 上是怎么樣的過程。類似的還有開弦/閉弦對偶問題。

Calabi-Yau 會在底流形 縮到零體積的時候建立 conifold 奇點，而這個奇點有兩個resolution，專家稱它們?yōu)?deformed conifold 和 resolved conifold：前者可以在 上堆 個 D-brane 并導(dǎo)致 CS 理論，而后者可以建立閉拓?fù)湎依碚摗ｉ_閉弦對偶指出，這兩個（作為同一奇點的不同光滑化的）幾何上的兩個物理理論是等價的。還有一些需要面對奇點的問題，比如孤立子、瞬子模空間的奇點，Seiberg-Witten curve 在某些 moduli 值處會產(chǎn)生奇點。處理這些問題時，代數(shù)幾何會有重要作用。

代數(shù)幾何在現(xiàn)代物理用用得越來越多了。代數(shù)幾何中最廣泛的應(yīng)用是在弦理論中，緊致化和mirror symmetry都和代數(shù)幾何有密切關(guān)系。此外，代數(shù)幾何在規(guī)范場論的散射振幅計算中也有應(yīng)用。
弦論里有大量代數(shù)幾何的應(yīng)用。這是一個過于龐大的話題，下面僅零碎地舉幾個例子。細(xì)節(jié)會越來越少，跟實際應(yīng)用多寡完全不成比例。

經(jīng)典教科書1有專門章節(jié)提供用到的代數(shù)幾何知識，但是不代表只有這些被應(yīng)用了，前沿的弦論研究和大量的代數(shù)幾何研究交織在一起，見文末討論。粗略地追究一下，起點可能是弦論在卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形上的緊化（compactification）。

也就是科普語言里說的在我們的四維時空的每一點都蜷著一個六維的卡拉比-丘空間（“弦論居住的房子”）。丘成桐對陳（陳省身）示性類為零的卡拉比猜想的解決使得我們對這類流形有了一個簡單的代數(shù)幾何刻化。這樣相關(guān)的代數(shù)幾何工具就進入物理學(xué)家的視野了。

先講代數(shù)幾何在弦理論里面一點比較具體的應(yīng)用（含現(xiàn)實的物理意義）：
在雜化弦論（heterotic string）中，規(guī)范場作為Hermitian-Yang-Mills方程的解的存在性對應(yīng)于一些全純向量叢的穩(wěn)定性（slope stability），這（在適當(dāng)?shù)臈l件下）被稱做Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，或者Kobayashi-Hitchin correspondence。到這一步涉及的對象還是復(fù)幾何的，然而穩(wěn)定性的條件可以在代數(shù)幾何的范疇里研究。

同時，計算這些向量叢的上同調(diào)對應(yīng)于數(shù)場（massless chiral superfields）的數(shù)目。而這些計算也可以通過范疇等價（GAGA，代數(shù)幾何與解析范疇的對應(yīng)）轉(zhuǎn)化為代數(shù)幾何問題進行計算。沿著這一思路，參考文獻2試圖從弦理論回到場論標(biāo)準(zhǔn)模型：從雜化弦出發(fā)，能夠找到這樣的弦論模型【1】，使得它在低能狀態(tài)下能夠重現(xiàn)超對稱標(biāo)準(zhǔn)模型（minimal supersymmetric standard model, MSSM）里的場，不多也不少。

當(dāng)然場的耦合強度還需要更細(xì)致的計算。這部分工作算是弦唯象理論（string phenomenology）。然后接著卡拉比-丘流形說，在兩個不同的卡拉比-丘流形上的弦理論可以通過鏡對稱（mirror symmetry）建立對偶，與此相關(guān)的Calabi-Yau / Landau-Ginzburg correspondence, Gauged linear sigma model 等等都用到很多代數(shù)幾何的工具。

再有比如super-Riemann surfaces and supermoduli space，bosonic string 只在26維良定義的代數(shù)幾何/模空間解釋，F(xiàn)理論里模型整個建立在elliptically fibered Calabi-Yau fourfolds上，尤其關(guān)注其中的退化的纖維(singular fiber)。從物理角度看，代數(shù)幾何工具并不比其他工具有什么特殊的，跟微分幾何、辛幾何以及其他工具交織在一起

。很多比較“高階”的構(gòu)造比如derived categories，gerbs and stacks物理學(xué)家也都在積極應(yīng)用。從數(shù)學(xué)物理角度看，弦論提供了很多有價值的數(shù)學(xué)問題，代數(shù)幾何相關(guān)的領(lǐng)域有Homological Mirror Symmetry, Enumerative Geomegry, Geomeric Langlands 等等等等。