掌握AMC 8六大模塊備考技能

01 AMC潛在考綱

幾何、應(yīng)用、組合為高頻題，同時(shí)也容易出現(xiàn)難題

AMC一直秉持無考綱、無確定范圍、無明確上下限的“三無政策”。其實(shí)AMC 8 出題還是很有套路的。刷完從1985到2018的34份卷子，850道題之后，我們冰哥還是發(fā)現(xiàn)了它潛在的考綱。AMC 8 的題目主要分為這六個(gè)模塊：概率與統(tǒng)計(jì) 幾何 計(jì)算 數(shù)論 應(yīng)用 組合在所有題型中：應(yīng)用>幾何>組合>計(jì)算但AMC 8 的題有難有易。簡(jiǎn)單題一般1分鐘內(nèi)需要完成，難題才是攻克重點(diǎn)。因此，我針對(duì)總體上難度更大的21-25題，又做了一個(gè)模塊的分析難題數(shù)量順序：幾何>組合>統(tǒng)計(jì)>應(yīng)用我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：幾何、應(yīng)用、組合不僅考的多、而且難題也多。

02各個(gè)模塊詳細(xì)分析及例題

AMC 8 考試最重要的一件事，是學(xué)會(huì)控制時(shí)間。40分鐘完成25題，再加上檢查的時(shí)間，平均一題只能花一分鐘左右。那么具體哪個(gè)模塊難？怎么準(zhǔn)備呢？下面我來通盤分析一下：

1幾何模塊

作為過去30多年占20%題量的模塊，幾何模塊是無數(shù)考生備考中花費(fèi)時(shí)間最多的。

很多AMC 8的幾何題都是在幾個(gè)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化，所以最重要的是熟練度、多總結(jié)。（尤其針對(duì)堆砌圖類型的題目）。

幾何模塊：簡(jiǎn)單題

難度小的幾何題不會(huì)涉及立體幾何，而是簡(jiǎn)單的平面幾何，考生往往可以通過目測(cè)就能夠給出正確答案。

比如2015年的第二題，只需連接oa線段，就能求出答案。

幾何模塊：難題但是復(fù)雜的題目，如2013年第25題，考察了孩子的空間想象能力。想要做出這道題，一定要找出其中的陷阱。考生必須意識(shí)到小球的行走路徑，并不是直接的三個(gè)半圓的周長(zhǎng)相加。

2計(jì)算模塊

計(jì)算模塊在每年的卷子里都占有4-5題，一般不難。想要攻破這個(gè)模塊，就是多多練習(xí)計(jì)算。當(dāng)然，計(jì)算也會(huì)有部分難題，主要考察的是巧算。關(guān)于這部分，給灣區(qū)娃的一點(diǎn)建議：第一：背乘法口訣表。第二：熟練掌握積累整數(shù)／分?jǐn)?shù)／小數(shù)的加減乘除法的巧算。

03應(yīng)用題模塊

因?yàn)閼?yīng)用題考查的是從實(shí)際生活抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，所以很多題目在數(shù)學(xué)維度是屬于其他幾個(gè)模塊的。應(yīng)用題模塊：簡(jiǎn)單題簡(jiǎn)單的應(yīng)用題，在理解題意上不會(huì)給孩子設(shè)置困難，學(xué)生往往能夠很自然的從自己掌握的知識(shí)中找到能夠解決這個(gè)實(shí)際問題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法。例如2018年第一題，題干是一個(gè)學(xué)生很熟悉的生活場(chǎng)景，學(xué)生只要理解了model的含義，就能夠理解如何運(yùn)用這個(gè)“1:20”，從而獲得答案。解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，就是對(duì)實(shí)際生活的理解以及對(duì)于比例的感知。應(yīng)用題模塊：難題有難度的應(yīng)用題則需要孩子完全理解題目后搭建出一個(gè)數(shù)學(xué)模型。例如2014年最后一題，圖片僅僅給出一部分路徑，學(xué)生需要尋找pattern。而我們應(yīng)對(duì)的方法也很簡(jiǎn)單：在生活中多多鼓勵(lì)孩子用數(shù)學(xué)的眼光看待問題解決問題。比如小學(xué)經(jīng)典的量旗桿問題。雖然無法直接丈量旗桿的長(zhǎng)度，但是可以在旁邊豎一個(gè)小棍子，計(jì)算影子與棍子的比例，再在同一時(shí)間量出旗桿影子的長(zhǎng)度，通過比例求出旗桿的長(zhǎng)度（這也是上文簡(jiǎn)單應(yīng)用題的實(shí)際生活應(yīng)用途徑）。通過不斷的在數(shù)學(xué)問題與生活實(shí)際間轉(zhuǎn)化，學(xué)生自然而然就能掌握解決應(yīng)用題的技巧。

04數(shù)論模塊

所謂數(shù)論，根據(jù)wikipedia的說法，“是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。被譽(yù)為‘最純’的數(shù)學(xué)領(lǐng)域”，最簡(jiǎn)單數(shù)論問題例如什么是奇數(shù)什么是偶數(shù)。數(shù)論在AMC 8中考察的難度不會(huì)很深題量也不會(huì)很多，嗯，得分率也不是很高。究其原因，結(jié)合13-18年官方給出的題目-知識(shí)點(diǎn)【CCSSM】對(duì)應(yīng)（AMC 8-Item Difficulty表），發(fā)現(xiàn)數(shù)論模塊以及接下來要說的組合模塊，有非常多的題并不在學(xué)校的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)。數(shù)論模塊，包括但不限于2018#7，2018#14，2018#18，2014#4，2014#13 和2014#21。對(duì)于不屬于CCSSM范圍的題，我們首先看一下它的難度范圍。數(shù)論模塊：簡(jiǎn)單題簡(jiǎn)單的題，如2014年第4題，只要知道奇數(shù)必為一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)相加而得，而偶數(shù)的奇數(shù)只有2，就能很快求出答案 （E選項(xiàng)為 166）。數(shù)論模塊：難題

難度較大的題，如2018年第25題，則要求學(xué)生掌握指數(shù)運(yùn)算的種種基本法則（初中才會(huì)學(xué)），對(duì)于想要跨級(jí)考AMC的低年級(jí)學(xué)生來說，難度非常的大（problem 25）。

而更難的題，不僅僅需要明確質(zhì)數(shù)是什么，更是要了解唯一分解定理，如何通過質(zhì)因子求解任意整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)（2018. 18）。

但正如剛剛所言，數(shù)論再難也不會(huì)過分，因此在備考時(shí)，主要在準(zhǔn)備因數(shù)與倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)的部分，多做題，多熟悉，很多題目就手到擒來。

05組合模塊

正如上文提到的，組合模塊也是校內(nèi)涉及較少知識(shí)點(diǎn)而AMC考查較多的部分（難題中25%是組合模塊的題）。

組合涉及的考點(diǎn)非常多也非常雜，想要系統(tǒng)的準(zhǔn)備是很有挑戰(zhàn)性的，但是根據(jù)歷年的真題，可以發(fā)現(xiàn)組合中的的邏輯推理，乘法原理，加法原理 ，復(fù)雜的計(jì)數(shù)（尤其是計(jì)數(shù)原理的落實(shí)）都是難點(diǎn)與重點(diǎn)。

想要做好組合題，往往需要學(xué)生能夠自己構(gòu)造模型，數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)教練曾經(jīng)說，組合題是最考驗(yàn)智商的題。可以說，組合沒有簡(jiǎn)單題，基本是難題。

比如2017年的24題，就是復(fù)雜計(jì)數(shù)類的組合題。這題首先與數(shù)論模塊相結(jié)合，包含了最小公倍數(shù)的知識(shí)，其次要利用容斥原理，完成復(fù)雜計(jì)數(shù)。

想要備戰(zhàn)組合模塊，80%靠天賦，20%靠后期練習(xí)的一種題感。總還是有機(jī)會(huì)的。

06概率與統(tǒng)計(jì)模塊

概統(tǒng)模塊雖然占比不大，但是每一道題都考查了學(xué)生的多重能力。

統(tǒng)計(jì)題底層理論是客觀的，但是解讀數(shù)據(jù)是隨著人的主觀意志為轉(zhuǎn)移的，因此在學(xué)習(xí)的過程中要學(xué)會(huì)辨證思維和歸納。

而概率題分為兩大類，一種是幾何概型，特點(diǎn)為 非有窮可列的。

比如計(jì)算在棋盤格中隨機(jī)扔一個(gè)骰子，它停在黑色格中的幾率，因?yàn)闊o法明確列出所有骰子停下的可能性，只能從幾何圖形的角度出發(fā)，通過計(jì)算黑色格子在整個(gè)區(qū)域的面積占比，求的概率。

值得注意的是，幾何概型的題目在AMC8中難度不會(huì)很大。

另一種則是古典概型，是概率難題的主要來源。將在接下來的難題備考部分詳細(xì)講解。

概統(tǒng)模塊：簡(jiǎn)單題

簡(jiǎn)單的概率題，要求學(xué)生體會(huì)事件發(fā)生可能性的含義，并能計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性。如投擲一個(gè)骰子，是偶數(shù)的幾率為多少。

而簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)題，是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，描述或理解相關(guān)數(shù)據(jù)，以及根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果作出簡(jiǎn)單的判斷，最經(jīng)常出現(xiàn)的就是bar graph 以及pie?chart。

例如2017年的第二題，學(xué)生要了解pie graph中百分比數(shù)字的含義，并且利用圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

概統(tǒng)模塊：難題

難度高的概統(tǒng)題常常為古典概型題，它的特點(diǎn)是可列有窮的，可以通過計(jì)數(shù)求出分子分母 （而且基本默認(rèn)是等可能性），因此難點(diǎn)主要在如何計(jì)數(shù)上。

考題會(huì)與組合模塊的內(nèi)容高度結(jié)合，將計(jì)數(shù)過程變得非常復(fù)雜，學(xué)生首先需要理解事件發(fā)生的情況有哪幾種可能性（組合的加法乘法原理），然后不重不漏，又很高效地（2分鐘內(nèi)）求出概率。

例如2018年的23題，如何補(bǔ)充不漏又迅速高效的算出共有多少個(gè)三角形／以八邊形至少一條邊為邊長(zhǎng)的三角形，也就是組合模塊中復(fù)雜計(jì)數(shù)的技能，才是解決題目的關(guān)鍵。

【總結(jié)】

AMC 8考試主要考察幾何，計(jì)數(shù)，應(yīng)用，數(shù)論，組合以及概統(tǒng)6個(gè)模塊的內(nèi)容。其中應(yīng)用題在整張卷子里占比最多，幾何在難題中占比最多。

組合與數(shù)論模塊涉及的課外內(nèi)容最多。

幾何模塊主要考察平面幾何，可以在平時(shí)多積累各種模型與解題技巧。

計(jì)數(shù)模塊鼓勵(lì)大家學(xué)習(xí)乘法口訣表以及各種巧算的方法。

應(yīng)用題在數(shù)學(xué)維度包含其他所有模塊的知識(shí)，但考查的是孩子將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

數(shù)論占比雖然少，但難度較大，多積累因數(shù)與倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)的知識(shí)。

組合與概統(tǒng)模塊都容易出現(xiàn)難題，需要靠多做題來提高題感以及解題策略。