中美并列數學奧賽冠軍能說明什么

中美在這一次數學奧林匹克比賽中總分并列第一，分享了冠軍。看似中美在奧數比賽上的水平現在是旗鼓相當，但如果回顧一下奧數歷史，會發現幾個有趣的現象：中國隊比美國隊晚了十多年才開始參與奧數比賽，但已經獲得了20次冠軍，美國雖然一直是傳統強隊，但只獲得了8次；然而，美國的8次冠軍中，有4次是在過去5年中取得的，而中國在今年之前已經連續4年與冠軍無緣。而如果更延伸開來，我們還會發現也有英法這種數學研究實力很強但奧數比賽成績非常一般的隊伍，所以也就有人會有疑問，奧數成績和一個國家的數學實力究竟有多少關系？正如我們之前所說的，袁老師在本屆奧數比賽之前，就與美國奧數隊總教練羅博深進行過一次暢談，

部分評論

諾坎普白總：對于國家奧數的排名爭論從宇宙的視角看來，地球上國家之間的競爭都是雞蟲之爭，不值一題，人類有沒有掌握黎曼猜想孿生質數猜想這樣的思想之光才是真正有意義的，決定了人類在宇宙之中的地位。袁老師這句話說的太牛了，知識學術活動就該是這樣的初心。

布魯諾：樓層評論太精彩，忍不住收藏本視頻。大家各抒己見，獲益匪淺。我小時候生活在鄉下，教育是什么，尚且認知模糊，素質教育就更無從談起了。衷心希望年輕的小朋友們珍惜學習機會，不管什么樣的條件，都努力拼搏。

MuXIDusk：大多數人總是喜歡著眼于人類之間的斗爭，而科學家卻在想整個人類群體的進步。

2019年7月20日，第60屆國際數學奧林匹克學術活動（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的成績公布了。出現了最富有戲劇性的結果：中國隊和美國隊并列第一！

上一次出現并列第一，還是在整整20年前的1999年，當時是中國隊和俄羅斯隊并列第一。再往前，并列第一就只有一次了，是1986年的美國隊和蘇聯隊。

這次的冠軍對許多中國人堪稱一場及時雨，因為中國隊上一次得到第一還是在2014年（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN），已經連續四年沒拿到第一了。

在2015年至2018年，中國隊拿了兩次第二、兩次第三。其實也都是很好的成績，但總是差這么一點，難免有些遺憾。當你再注意到，中國隊在以前創造過四連冠甚至五連冠的驚人佳績，你就更會感到連續四年沒得第一是個顯著的下降了。再加上教育部對所謂“素質教育”的推崇、對奧數培訓的打壓，近年來，奧數成了中國輿論場上的一個熱門話題。因此，這次重返冠軍，令大家格外欣慰。

中國隊在國際數學奧林匹克學術活動的排名歷史（橫軸是學術活動的屆數。第一屆在1959年，此后除1980年外，每年都舉辦一屆，2019年是第60屆。黃色：參賽國的數量；黑色：反轉的排名，位置越高表示排名越高）

再來看美國隊，它也是IMO的一支傳統強隊，不過拿第一的次數比中國隊少得多（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA）。美國隊從1974年參賽以來，包括這次在內總共得過8次冠軍。而中國隊參賽比美國隊晚了11年，從1985年才開始參賽，卻得到了20次冠軍！因此可以說，中國隊在開始參賽之后，就成了IMO的頭號主角。

在中國隊參賽之前，成績最好的是蘇聯隊（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS），他們從1959年開始參賽到1991年國家解體，一共拿了13次第一，其中從1963年到1967年更是創造了五連冠的偉業。甚至在1991年，蘇聯解體的那一年，他們還拿到了最后一次冠軍，令人唏噓不已。

在蘇聯解體后，俄羅斯隊也稱得上一支強隊（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS），不過只拿到了兩次冠軍，跟中美相比就有顯著的差距了。

有一點值得注意的是，美國隊雖然總共只拿過8次冠軍，但其中4次就是在最近的5年中拿的。具體而言，從2015年到2019年的5年中，美國隊驚人地拿了4次第一，只有2017年是第四。由于這個第四卡在中間，使得美國隊的連續奪冠紀錄只有兩次，連三連冠都還沒到。不過無論如何，這五年的美國隊就像開掛一樣，創造了歷史最佳成績，這是非常了不起的。

更加有趣的是，在這五年的開掛期間，美國隊的總教練都是同一個人，就是我的朋友、卡內基梅隆大學數學系的羅博深教授。你猜，我們是因為什么認識的？當然是因為拍科技袁人節目了！

羅博深

我和羅博深的對話是在5月30日做的，視頻預計將在7月31日上線，敬請期待。下面，我們先來看看這屆學術活動以及IMO整體的一些基本情況。

一個基本的問題是，國家的數學學術活動成績和數學研究水平之間是什么樣的關系呢？

整體而言，兩者之間顯然存在正相關。例如中國、美國、俄羅斯、德國、韓國、匈牙利在IMO中都拿過冠軍，稱得上學術活動強國，而這些國家的數學研究水平也都不錯。

不過，這個相關程度并不是很強。例如法國和英國都是歷史悠久的數學強國，出過許多偉大的數學家，但在學術活動中卻一次冠軍都沒拿過，這次的排名分別是25和20。

再仔細看的話，中國在數學學術活動中成績超群，但在數學研究中就離頂尖很遠了。我的一些數學家朋友告訴我，在數學研究中，現在是美國最強，法國、俄羅斯、德國、英國緊隨其后，再往下才是中國、巴西、日本、意大利等等。

你也許會感到很詫異：巴西？其實巴西的數學真的不可小覷，他們的數學學術活動每年有1800萬學生參加，號稱世界最大，而且2014年有一位巴西數學家阿圖爾·阿維拉（Artur Avila）獲得了菲爾茲獎。中國本土還從來沒有數學家得到菲爾茲獎呢！

阿圖爾·阿維拉

在大家熟悉的國際頂尖華人數學家中，陳省身沒有得菲爾茲獎，得了沃爾夫獎，國際數學聯合會專門設立了“陳省身獎”作為國際數學界最高級的終身成就獎。

陳省身

丘成桐是第一個獲得菲爾茲獎的華人，不過他是以美國籍得的。

丘成桐

陶哲軒是第二個獲得菲爾茲獎的華人，不過他是出生在澳大利亞的華裔。

陶哲軒

張益唐的成果配得上菲爾茲獎，不過他的年齡超過40歲了，不能得這個獎。

張益唐

所以大家要努力哦，你還有機會成為第一個中國本土獲得菲爾茲獎的數學家！

以上的這些討論，可以讓我們認識到，數學學術活動是重要的，但遠不是最重要的。它可以作為一個引子，引導大家關心數學、熱愛數學，就像莊子說的“得魚忘筌”。明白了這些，就可以以平常心看待學術活動了。

下面我們來具體看看這屆學術活動的情況。

首先來看一下考題，在IMO的網站可以下載到各種語言的版本（http://www.imo-official.org/problems.aspx）。考試分為兩天，每天3道題，做4個半小時，總共6道題。每道題7分，滿分42分。

在這屆的考題中，有些似乎連看懂題意都不容易，例如第2題和第6題這兩道幾何題。也有些看起來似乎很容易理解，例如代數的第1題和數論的第4題。

但無論哪道，找到思路都是很不容易的。即使是表面最親民的第1題，也很可能在寫寫畫畫一大堆之后無法前進。我就是這樣，推了不少，但在看網友寫的答案之前，還是找不到辦法確定函數的形式。差可告慰的是，在看了答案之后，仔細琢磨一下就理解了。

2019年國際數學奧林匹克學術活動第1題網友解答

有興趣的觀眾，可以仔細去推演。在這里我解釋一句：關鍵在于看出，這個函數在任意的n、n + 1和n + 2這相鄰三點的取值構成一個等差數列，所以這個等差數列的公差即f(n + 1) - f(n)是一個常數，因此這個函數只能是線性函數。一旦想通這一點，后面的推導就都是順理成章的了。

你看，這道題在本質上不難嘛。對于高手來說，應該算是送分題。事實上，IMO網站給出了每道題的得分分布圖（http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019）。

在參賽的621位選手中，有超過一半的382人在第1題上得到了滿分7分。由此可見，IMO也和平時見到的考試一樣，上來先會出一些送分題，穩定一下考生的心情。不過即使對于這樣一道送分題，也有73人得了0分。這讓我們說什么好呢？如果你太菜了，那么老師再怎么努力地想把分數送給你，也送不成啊！

其他題目的得分分布，跟第1題就大相徑庭。最有趣的是第3題和第6題，它們分別是第一天和第二天的壓軸題目。第3題有520人吃了鴨蛋，第6題更是有558人一分沒得！

第3題和第6題得到滿分的人，分別只有28人和27人。顯然，奪冠的關鍵就在這最難的兩道題。

羅博深跟我說的非常有趣的一點，就是個人奪金與國家奪冠之間的關系。如果你只想拿塊金牌的話，那么你做五道題就夠了。咦，什么叫“只”想拿塊金牌？

因為奧賽的金牌并不是根據絕對成績來發的，而是根據相對成績，只要你排名在前50位左右，就可以拿到金牌。例如這次學術活動總共有52人獲得金牌，門檻是在滿分42分中得到31分。你看，是不是做五道題就夠了？

以前美國隊多年不能奪冠，一個原因就是隊員們覺得自己反正也贏不了，做對五道就夠了，第六道直接放棄。2015年美國隊奪冠，就是因為那屆隊員特別想贏，在做完五道題后還去竭盡全力做最難的。他們贏了以后，后面的幾屆看到自己真的能贏，斗志也被點燃了，從此也竭盡全力做所有的題。

由此可見，今年的中美并列第一，是雙方的能力、技巧、斗志旗鼓相當的結果。讓我們為兩國的隊員喝彩！

下面我們來看一下這屆學術活動的結果。

在國家層面（http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019），中國和美國以227分并列第一。然后是韓國，以一分之差位列第三。

第四是朝鮮，187分。我們祝賀朝鮮追平自己的歷史最好成績（它在2015年也得了第四），不過它的得分跟前三位就有明顯的差距了。第五到第十位分別是泰國、俄羅斯、越南、新加坡、塞爾維亞和波蘭。

在個人層面（http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc），這屆學術活動一共有6人拿到42分的滿分，其中兩人來自中國，兩人來自美國，另外兩人分別來自韓國和波蘭。

中國隊的6名選手都拿到了金牌，美國隊和韓國隊也是。這里一個有趣的問題是，美國隊的6人中有5人是華裔，他們的總教練和副教練也是華裔。因此，有不少人開玩笑說美國隊是中國二隊，也有不少人在抱怨所謂人才外流的問題。

我想說的是，這些都不重要，不要讓負能量沾染自己。正能量的思維是，美國隊以及其他很多參賽隊伍中有大量的華人，這說明華人是完全可以搞好數學的。我們應該更加努力，早日把中國建設成頂尖的數學強國。

還有一些有趣之處，出現在榜單的末尾。在參賽的112個國家和地區中，有3個國家的總分是0！這3個并列倒數第一的國家是：安哥拉、肯尼亞和阿聯酋。

在這三國當中，尤其特別的是阿聯酋，因為它派出了一個完全由女生組成的隊伍（2019IMO開幕式視頻及最新照片來啦！竟然有個國家隊全員女生！），在賽前吸引了很多關注。我看到這則消息時感到很奇怪：這個國家的男生到哪里去了？難道他們的數學都這么差嗎？沒想到結果是，這6位女生一分未得。

不過如大家所知，有些宗教國家平時嚴禁女人拋頭露面，甚至還有宗教警察四處巡視。因此這次讓女生出來參賽，總是一件值得鼓勵的事。讓我們希望，數學之光和自由之光普照世界。

如果前面講的學術活動題讓你“不明覺厲”，那么下面，我們就來介紹一個簡單而精妙的數學定理，而且它還很有實用價值。為什么在這里提到這個定理呢？因為這個定理是我第一次見到羅博深的時候，他正在講的，講給上海市延安初級中學的師生們。

這個定理叫做皮克定理（Pick’s theorem），它說的是：在一個平面上標出那些橫縱坐標都為整數的點，把這些點叫做格點。以任意多個格點作為頂點，做一個多邊形，那么這個多邊形的

面積 = 內點數 + 邊界點數/2 - 1。

也就是說，數出有多少個格點完全包含在多邊形中，每個這樣的格點貢獻1的面積。再數出有多少個格點在多邊形的邊界上，每個這樣的格點貢獻1/2的面積。把兩部分貢獻加起來，再減去1，就得到了多邊形的面積。

舉個例子，在下面這個四邊形中，內點有7個，邊界點有8個，因此它的面積等于7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊？

皮克定理

我跟羅博深交流的時候，說我們在物理和化學中研究晶體結構時，就經常用類似的方法。如何確定一個晶胞中包含多少個原子呢？例如下圖所示的，體心立方和面心立方的晶胞。

體心立方和面心立方晶胞

簡便的算法是，一個原子如果位于一個晶胞之內，那么就把它完全歸于這個晶胞。一個原子如果位于一個面上，即被兩個晶胞分享，那么就給每個晶胞1/2個原子。一個原子如果位于一條棱上，即被四個晶胞分享，那么就給每個晶胞1/4個原子。一個原子如果位于一個角上，即被八個晶胞分享，那么就給每個晶胞1/8個原子。基本的思想就是“均分”。

根據這種算法，你很快就會發現，雖然看起來眼花繚亂，但體心立方只包含2個原子，面心立方只包含4個原子。這就是跟皮克定理的一個有趣的類比。

因此，你能從直覺看出皮克定理是正確的嗎？你能從直覺看出這個定理可以用數學歸納法證明嗎？