當(dāng)數(shù)學(xué)遇到物理之無(wú)處不在的鏡像對(duì)稱

季理真，1964 年 4 月生于溫州。1984 年獲杭州大學(xué)理學(xué)學(xué)士學(xué)位，1985 年赴美在丘成桐教授指導(dǎo)下研習(xí)數(shù)學(xué)。1987 年在加州大學(xué)圣地亞哥分校獲得理學(xué)碩士學(xué)位，1991 年在美國(guó)東北大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位。先后在美國(guó)麻省理工學(xué)院、普林斯頓高等研究所從事研究工作，1995 年至今任教于美國(guó)密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系，從 2002 年開始兼任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心高級(jí)教授。曾獲得 Sloan 研究獎(jiǎng)，以及美國(guó)自然科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)科學(xué)博士后獎(jiǎng)。

中國(guó)人口眾多，名人也不少，著名的華人數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家更是遍及海內(nèi)外。但要讓當(dāng)今最偉大的華人數(shù)學(xué)家和最偉大的華人物理學(xué)家聚首清華園，并不容易。但這卻真的發(fā)生了，時(shí)間是 2014 年 8 月 4 日的晚上，清華園附近的文津大酒店正在舉辦丘成桐教授 65 歲華誕慶祝暨卡拉比猜想 60 年國(guó)際會(huì)議的盛大晚宴。這可以看作是丘教授的一次家宴，他個(gè)人承擔(dān)了晚宴的全部費(fèi)用。

世界著名物理學(xué)大師楊振寧教授起身做了開場(chǎng)致辭：

“我有一個(gè)小故事，丘成桐不一定喜歡聽，他來(lái)石溪一年后，斯坦福想將他挖走，石溪要留他，開了個(gè)會(huì)，除了一個(gè)人外，全部都贊成留他。此人說(shuō)丘成桐有篇文章有錯(cuò)，有人響應(yīng)說(shuō)：這是一個(gè)多么漂亮的錯(cuò)誤。事實(shí)證明，沒有留住他是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤。

“之后，他在很短的兩三年時(shí)間里做出很重要的工作。我也看過(guò)卡拉比猜想的證明，慢慢理解它的重要性，尤其是：他的證明可以推廣去證明正質(zhì)量猜測(cè)。毫無(wú)疑問(wèn)，他是當(dāng)今最有影響力的數(shù)學(xué)家之一。除了數(shù)學(xué)外，丘成桐的文學(xué)也很好。他有一個(gè)很特殊的地方，他會(huì)寫胼體文。

“有人問(wèn)我，現(xiàn)在我重新選擇專業(yè)的話，我會(huì)做什么選擇？我現(xiàn)在看理論物理，發(fā)展很是緩慢，不像我們那個(gè)時(shí)代，所以我說(shuō)我會(huì)選擇數(shù)學(xué)。我聽說(shuō)丘成桐有 60 多名畢業(yè)的博士，要我再選擇一次，也許我會(huì)做他的學(xué)生?！?/p>

對(duì)我們?cè)S多人而言，早已久聞楊教授的大名，但是卻很少有機(jī)會(huì)與他見面和交談，特別是在他和太太一起出席的場(chǎng)合。這里是又一張楊教授和他的太太的照片。

雖然丘教授和楊教授的研究領(lǐng)域不盡相同，來(lái)自不同的背景和時(shí)代，但是他們還是有許多相似之處。比如，楊教授是第一位華人諾貝爾獎(jiǎng)得主，丘教授則是第一位華人菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。他們都在很年輕的時(shí)候獲得了各自領(lǐng)域的最高榮譽(yù)。他們都致力于推動(dòng)中國(guó)基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，對(duì)清華大學(xué)的數(shù)學(xué)和物理學(xué)科建設(shè)傾注了大量心血。

我們都知道數(shù)學(xué)和物理學(xué)的緊密交融，仿佛因彼此而生又相依相存。雖然數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家曾經(jīng)分道揚(yáng)鑣，各自為政，但是命運(yùn)之手又將它們連接在一起。數(shù)理的融會(huì)貫通和相互欣賞是人類文明進(jìn)程中的最感人的摯愛篇章。事實(shí)上，從微積分和天體運(yùn)動(dòng)，到微分幾何和相對(duì)論，再到李群和量子物理，直至卡拉比?丘流形和弦理論。這是一個(gè)遠(yuǎn)未結(jié)束的浪漫故事。

除了楊教授和丘教授的這次歷史性會(huì)面，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家間的頻繁交流由來(lái)已久。可以說(shuō)曾經(jīng)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的稱謂并無(wú)不同，因?yàn)檫@兩個(gè)學(xué)科本來(lái)就沒有嚴(yán)格的區(qū)分。阿基米德、牛頓、歐拉、高斯、甚至黎曼，誰(shuí)能說(shuō)他們不是同時(shí)精通數(shù)學(xué)和物理。但是科學(xué)的迅猛發(fā)展，也許對(duì)于愛因斯坦，同樣的論斷不再成立。另一方面，數(shù)學(xué)和物理在各自領(lǐng)域仍然涌現(xiàn)著如同丘教授和楊教授這樣的偉大人物。自愛因斯坦、Dirac 和 Weyl 以來(lái)，楊教授是最懂得如何利用對(duì)稱原理到物理學(xué)的物理大師！鮮為人知的是，丘教授是哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系和物理系的雙聘教授。

除了上述這些，還有一個(gè)也許并不引人注意的事實(shí)值得一提。丘教授和楊教授都對(duì)自然界的一個(gè)基本原理 —— 鏡像對(duì)稱的存在與缺失現(xiàn)象做出了重要的貢獻(xiàn)?？ɡ?丘流形是十維時(shí)空緊化理論的重要基石；弦理論激發(fā)了卡拉比?丘流形鏡像對(duì)稱的研究，開創(chuàng)了一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域。楊教授與李政道教授因合作推翻了愛因斯坦的宇稱守恒定律（即發(fā)現(xiàn)對(duì)稱破缺）而獲得諾貝爾獎(jiǎng)。

即使很多受過(guò)高等教育的人也不見得理解對(duì)稱破缺的概念或者卡拉比?丘流形鏡像對(duì)稱原理，但是大眾更喜歡討論另一種和楊教授有關(guān)的對(duì)稱。當(dāng)楊教授與現(xiàn)任太太結(jié)婚時(shí)，他 82 歲，楊太太 28 歲；而明年楊教授 93 歲， 楊太太 39 歲。

楊教授的致辭展現(xiàn)了他旺盛的精力、敏銳的洞察力和天然的幽默感。他在如此高齡仍然葆有健康的身體和心態(tài)。當(dāng)然，他對(duì)物理學(xué)的巨大貢獻(xiàn)令他在國(guó)際學(xué)術(shù)界和公眾中有著無(wú)數(shù)的崇拜者，他的人格魅力也為他贏得了不少粉絲。

當(dāng)楊教授向丘教授道別時(shí)，他邀請(qǐng)丘教授一定要來(lái)參加他的百歲生日宴會(huì)。丘教授回復(fù)說(shuō)，他還要參加楊教授 108 歲的生日宴會(huì)。我們都期待著楊教授在他的生日宴會(huì)上再次飽含能量和睿智的致辭。

人們往往對(duì)那些顯然的事實(shí)視而不見。鏡像對(duì)稱的一個(gè)重要方面是數(shù)學(xué)與物理的交匯。如同雙向的車流，這種影響勢(shì)必是相互的。如同上面我們所提到的例子，數(shù)學(xué)與物理缺少了任何一方都無(wú)法存在。鏡像對(duì)稱也存在于學(xué)術(shù)之外：耶穌曾說(shuō)“待人如待己”；孔夫子曰“己所不欲勿施于人”。如果人們都遵循這一處事原則，這個(gè)世界會(huì)更加安寧，但如此一來(lái)，也許又會(huì)讓人覺得有些枯燥。

卡拉比?丘流形及其鏡像對(duì)稱只是丘教授對(duì)數(shù)學(xué)的眾多深刻的貢獻(xiàn)之一。除了數(shù)學(xué)，丘教授還有許多其他的興趣愛好。比如他在詩(shī)詞和歷史方面有很高的造詣。

時(shí)空統(tǒng)一頌

時(shí)乎時(shí)乎　逝何如此

物乎物乎　繁何如斯

弱水三千　豈非同源

時(shí)空一體　心物互存

時(shí)兮時(shí)兮　時(shí)不再嶼

天兮天兮　天何多容

亙古恒遷　黑洞融融

時(shí)空一體　其無(wú)盡耶

大哉大哉　宇宙之謎

美哉美哉　真理之源

時(shí)空量化　智者無(wú)何

管測(cè)大塊　學(xué)也洋洋

數(shù)學(xué)與藝術(shù)也有密切的聯(lián)系。楊太太研究中國(guó)古典建筑，在楊教授帶動(dòng)下，楊太太題詞。是的，對(duì)美的追求是科學(xué)與人文，乃至人生與愛情的真諦。

這次宴會(huì)上，我們還準(zhǔn)備了一本小冊(cè)子，其中包含了丘教授的許多同事和朋友的評(píng)語(yǔ)，例如卡拉比?丘流形在物理學(xué)中的應(yīng)用等。

讓我們引用諾貝爾獎(jiǎng)獲得者大衛(wèi)?格羅斯教授的評(píng)語(yǔ)：“近年來(lái)理論物理最驚人的發(fā)展是人們意識(shí)到卡拉比和丘成桐構(gòu)造的漂亮的幾何流形可以為十維超弦理論提供理論框架，其中六維空間緊化成為卡拉比?丘流形。古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家一定會(huì)很欣慰，在卡拉比?丘流形緊化之下，物的本質(zhì)與力的結(jié)構(gòu)由這些流形的幾何性質(zhì)所決定。這些解與流形的研究深刻影響了過(guò)去 30 年物理與數(shù)學(xué)的發(fā)展?！?/p>

關(guān)于卡拉比?丘流形在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，我們需要從歷史的觀點(diǎn)加以審視。數(shù)學(xué)中有許多深刻和著名的結(jié)果和定理，但是大多數(shù)數(shù)學(xué)家應(yīng)該會(huì)認(rèn)同，單值化定理是過(guò)去幾個(gè)世紀(jì)中數(shù)學(xué)上最重要的定理之一。其分類了所有黎曼曲面，并可推出在任何曲面上存在常曲率度量。

我們?cè)僖梅茽柶潽?jiǎng)獲得者西蒙?唐納森教授的評(píng)語(yǔ)：“卡拉比在 20 世 紀(jì) 50 年代提出關(guān)于緊致復(fù)流形上給定里奇張量的度量存在性的猜想，以及丘在 20 世紀(jì) 70 年代給出的卡拉比猜想的證明是微分幾何中具有里程碑意義的成就?？ɡ鹊淖C明給出了第一個(gè)具有消滅里奇曲率的非平坦緊流形的例子，從而回答了整體黎曼幾何中的一個(gè)基本問(wèn)題。更一般的，這個(gè)猜想和它的解決揭示了非線性橢圓偏微分方程與微分幾何的深刻聯(lián)系，激發(fā)了這個(gè)領(lǐng)域近 40 年來(lái)的巨大變革。在技術(shù)細(xì)節(jié)的層面上，丘所引入的關(guān)鍵想法以及復(fù)蒙日?安培方程的估計(jì)技巧至今仍然在被不斷地改進(jìn)和應(yīng)用。

橢圓曲線的研究可以追溯到 18 世紀(jì)代數(shù)幾何與復(fù)分析的萌芽。到 20 世紀(jì)中葉，人們了解了 K3 曲面的許多特殊性質(zhì)。今天，受到理論物理中弦理論的啟發(fā)以及代數(shù)幾何的發(fā)展，我們得以認(rèn)識(shí)到任意維數(shù)的卡拉比?丘流形的非凡與漂亮的性質(zhì)。雖然我們對(duì)其已經(jīng)有了諸多了解，還有許多深刻的問(wèn)題和未解之謎，足夠好幾代的幾何學(xué)家投身其中?！?/p>

除了這些評(píng)語(yǔ)，晚宴上丘教授的朋友和同事們紛紛上臺(tái)發(fā)言，分享他們與丘教授交往的故事與回憶。晚宴由鄭紹遠(yuǎn)教授與肖杰教授主持，他們的專業(yè)精神讓宴會(huì)氣氛歡快。

丘教授在多年的學(xué)術(shù)生涯中一直非常高產(chǎn)。一個(gè)問(wèn)題是丘教授如何看待他自己的工作，特別是在慶祝他的生日會(huì)議這樣一個(gè)場(chǎng)合。在會(huì)議開始前，剛剛出版了丘教授的綜述論文選集，其中還有丘教授親自撰寫的關(guān)于這些論文的背景與評(píng)論。雖然許多著名數(shù)學(xué)家都出版過(guò)論文選集，但這也許是第一本正式出版的當(dāng)代科學(xué)大師的綜述與介紹性論著的合集。

以下是丘教授論文選集中的兩段評(píng)論：

“在我證明具有非負(fù)里奇曲率的完備凱勒流形上不存在非平凡的有界全純函數(shù)之后，我試圖證明這個(gè)命題的實(shí)數(shù)版本，即具有非負(fù)里奇曲率完備流形上沒有非平凡的有界調(diào)和函數(shù)……但是所需要的論證比我最初想象的更具挑戰(zhàn)性……我仍然記得，為了應(yīng)用極大值原理，我嘗試了許多不同的檢驗(yàn)函數(shù)。我經(jīng)常懷念斯坦福校園的日落美景，我待在辦公室驗(yàn)證那些函數(shù)，很晚才出去吃飯。

“當(dāng)時(shí)我正在思考如何構(gòu)造里奇平坦的非平坦度量，沒人相信這種流形真的存在。然后我發(fā)現(xiàn)卡拉比在 1954 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告，其中描述了我正在思考的這個(gè)問(wèn)題在凱勒幾何情形下的版本……由于第一陳類具有簡(jiǎn)單的曲率表達(dá)式，凱勒流形的里奇曲率也更加簡(jiǎn)潔。愛因斯坦張量方程簡(jiǎn)化成為一個(gè)數(shù)量方程?？ɡ雀嬖V我，安德烈?韋伊對(duì)這個(gè)猜想有 興趣，但是認(rèn)定非線性橢圓方程的方法還沒有成熟到可以解決它的程度。但是因?yàn)樗峁┝死斫饫锲媲实年P(guān)鍵步驟，我覺得自己應(yīng)該盡全力去解決卡拉比猜想?！?/p>

如果有人問(wèn)丘教授最杰出的一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作，答案很明確：他的關(guān)于卡拉比猜想的證明。他發(fā)表在《美國(guó)科學(xué)院院刊》上只有兩頁(yè)的短文給出了卡拉比猜想的解在代數(shù)幾何中的精彩應(yīng)用，令人激動(dòng)又嘆為觀止。那么什么是丘教授最自豪的作品？雖然卡拉比?丘流形很重要，他的兩個(gè)兒子無(wú)疑更加珍貴。