一位學霸的數學心路歷程

大家好，我是來自清華大學數學系的準大四學生。學了三年現代數學，我想把自己的一些感悟記錄下來。

回頭看這三年，覺得走了很多彎路、做了很多意義不大的事情，想來是跟學長、老師們的深層次溝通少了，所以想用剖析自己的經歷、優缺點的方式，向大家展示一個天分普通的學生的本科學習歷程，希望后來人能夠更好地利用這三年時間。

一、指導思想：廣度優先

為什么我是大三結束的時候來寫這篇建議呢，因為到了大四大家已經要開始準備自己那一個小方向的畢業論文了，前三年才是基礎數學的基礎性學習階段。

老師們都說，在本科時候要多學點東西；丘成桐先生也經常說，數學家至少要精通兩個方向，才有可能發現不同方向的聯系，才能做出大成就。

“發現不同學科的聯系”是我逐漸領悟到的努力目標，其本質是更好地理解數學，同時也是把冗余的東西縮并起來，化歸到自己原有的知識體系中。

所以這篇建議的（來源于我的）局限性在于“廣度優先”的指導思想，我還不能理解很多同學（他們往往都是天賦異稟的）很早就瞄著代數幾何或者代數拓撲或者分析一直往深處學的這種行為，我也嘗試過拿起一本書從頭學到尾，但是往往會被突然出現的新概念所挫敗，非常不理解研究它的動機，從而再往深學就成了某種機械性地強迫性行為（但我想，他們肯定是看破了這種動機）。

另一個局限性就是，我分析學得不好。

我大一至大三，三年時間共修了31門數學課：

分析類：數學分析(1)、數學分析(2)、數學分析(3)、實分析、復分析(1)、復分析(2)、泛函分析、常微分方程、偏微分方程(1)、偏微分方程(2)、分析力學、概率論

幾何類：微分流形、拓撲學、微分拓撲、代數拓撲、微分幾何、黎曼幾何、黎曼曲面、復幾何

代數類：線性代數(1)、線性代數(2)、代數學前沿基礎、抽象代數(1)、抽象代數(2)、代數數論(1)、代數數論(2)、代數幾何(1)、代數幾何(2)、李群李代數、群表示論

修習的時間順序為：

大一上：數學分析(1)，線性代數(1)

大一下：數學分析(2)，線性代數(2)，復分析(1)，代數學前沿基礎

大二上：數學分析(3)，常微分方程，拓撲學，抽象代數(1)

大二下：實分析，分析力學，概率論，微分拓撲，代數數論(1)，黎曼曲面

大三上：泛函分析，偏微分方程(2)，微分流形，代數數論(2)，微分幾何，代數幾何(1)，李群李代數，抽象代數(2)，復分析(2)

大三下：偏微分方程(1)，黎曼幾何，復幾何，代數拓撲，群表示論，代數幾何(2)

（估計不少人會驚訝于我選課之多，這其實是一把雙刃劍）

（非本校的同學欲知課程大綱可以參看附錄）

二、最基本的語言：數分、線代、抽代、拓撲、流形

我們一入學就會聽老師說數分和線代是你學其他一切數學的基礎，我想這句話中的“一切數學”必定包括了概率、統計與應用，但如果局限在基礎數學上的話，必定要加上抽代和拓撲。

大一的時候，老師叫我們不要選更多課了，專心學好數分和線代，作為剛入學的新生懷著對未知事物的敬畏，我也就只選了數分和線代。

現在看來，老師的話對于大部分同學來說是對的，因為很多同學不適應這種與高考數學截然不同的思維方式，很多人甚至沒能在期中考試中及格；但很幸運的是我上手很快，可能是因為我高中的時候就已經看了半本卓里奇。

由于只選了兩門課，課后的時間就拿來做卓里奇的習題。現在看來，盡管卓里奇的習題很多都是今后可能會學的數值分析、大學物理里面的內容，但是所產生的作用也就只有習題的作用。

我花費了大量的時間在上面，經常花整個半天在一道題目上，不是說這樣不好，而是有更好的替代方案，可以用這些時間去學抽代和拓撲。我后來知道，王志涵學長還有七字班的三位學弟都是在大一一入學就修習了拓撲。

學了抽象代數，相當于打開了代數類的大門；學了拓撲學和微分流形，相當于打開了幾何類的大門。

抽象代數：我是寒假自學了姚慕生的《抽象代數學》和Artin的《代數》(Algebra)，學一遍是學不懂的而且會容易忘，于是我在大一之后的暑假花了兩個星期看了Rotman的《群論導論》(An Introduction to the Theory of Groups)的前幾章，并把習題都做了（基礎性的課程就是得認認真真地從頭啃到尾）。

那時我感覺我的抽代中的群論部分已經沒有問題了，于是大二上開設的抽象代數課我一節都沒有去聽過，考試只花了一半的時間就拿了滿分。但學得好不好跟考試成績的關系不大。

盡管我把姚慕生《抽象代數學》（這是我們的教材）看了三遍以上，自認為群論和環論掌握得不錯，但是Galois理論卻沒學懂。徐凱學長也說，他當初學Galois理論的時候也碰到了困難，他推薦給我Hungerford的《代數》(Algebra)。Hungerford事無巨細，把建立Galois理論的過程寫得清清楚楚。

但這容易使我們陷入一個誤區，就是只知道證明Galois理論，而不會使用它。學一遍是學不會的，所有的東西都還要再去學成人版。

三年以來，我把Hungerford的域論一章看了至少三遍，Galois理論前前后后也學了至少三遍，關鍵在于，我不只是重新再看Hungerford這一本書，而是在學習抽象代數2、代數數論的時候，有了應用Galois理論的地方，等到要用Galois理論的地方，再回頭來學第二遍、第三遍，才能學得更好。

今年在丘賽討論班上，基于對各種概念的熟悉，我用一張A4紙大小的筆記就建立起了Galois理論，這就是所謂的成人版，也是華羅庚先生說的，把書讀厚了，再把書讀薄。

拓撲學：我大二上才學的拓撲。老師講課風格很飄逸，許多東西不給嚴謹的證明，而我課后也學得不認真，經常是一節課沒聽懂，課后又不去復習，一拖好幾周，就會覺得這門課程越來越難，而最后期末復習的時候，梳理完所有知識，又覺得這門課沒講多少東西。

但這樣的學習習慣終究是不好的，把自己不懂的東西拖得太久，想來我有很多門課程都是以這種學習態度對待的，盡管靠著期末復習能夠拿到很高的分數，但是事實上學過的東西過了一個學期就基本忘光了。

跟于品教授聊天的時候，他說：你把東西忘光了，就是沒有學會。于品老師是做偏微分方程的，但是他本科學的代數幾何都還沒忘，做起題目來游刃有余。所以我想，每周把新學的東西復習一下，就會大大增加學會的可能。

微分流形：數學分析的時候也講流形，講歐式空間里的曲面，但是歐式空間里的坐標所能成為的角色太多了，我學的時候經常混淆概念。

如果這個時候去學一般性的微分流形理論，就會把這些概念理的特別清楚。我是用Tu的《流形導論》(An Introduction to Manifolds)入門的。只用看前幾章，學會流形等相關概念就行。

流形是把幾何對象抽象出來的概念，是最最基本的研究對象，幾乎所有的幾何課都要拿幾節課的時間來科普流形的定義，我記得我大二下上黎曼幾何、黎曼曲面、微分拓撲的時候，三門課同時講微分流形，聽得都膩了。

三、啟發性的直觀：黎曼曲面、微分拓撲、微分幾何

我們經常會看到書上極其突兀地引入新概念，找尋定義這種新概念的緣由，就得用歷史的觀點去看它的形成歷史。我總相信，數學家的大腦不是神的大腦，是可以被理解的，所有想法必定有根源，是從當時的環境中孕育出來的。

周堅教授說：復分析聯系著所有的現代數學，所有的現代數學都是從復分析里誕生的。

黎曼曲面：學了復分析之后，就可以學黎曼曲面。黎曼曲面就是復分析解析延拓而來的——解析延拓，就孕育出了“層”的概念，以及它跟基本群的聯系，比如沿著兩條路徑做函數的解析延拓，延拓出來的值是否相同呢？如果著兩條路徑可以連續地變化到對方，那么延拓的值就是一樣的。

研究黎曼曲面上的亞純函數，可以建立黎曼曲面與函數域的一一對應，這是把幾何與代數聯系起來。代數數論中的概念，比如素理想的分解，就可以用幾何的眼光來看待。

我們也可以把它們推廣到代數幾何里。所以當你學代數幾何里的finite morphism時，知道它的幾何來源，會對你接受代數幾何的理論有很大的幫助。

研究黎曼曲面上的微積分，來證明Riemann-Roch定理，這是對偏微分方程的應用，也是Hodge理論的伊始。

微分拓撲：除了三角剖分所引出的單純同調之外，de Rham上同調應該是同調理論最直觀的例子了。同調群有太多太多看法了，站在微分形式的角度就是在看 這個方程（當然這個說法不太妙，因為類似地也可以說復分析就是在研究Cauchy-Riemann方程組）。

de Rham上同調里，積分這個操作帶來了Poincare對偶。而有些同學是先在代數拓撲里，用奇異上同調學的Poincare對偶，雖然在代數上做法很自然，但是如果先有了de Rham上同調的背景，理解一般系數的同調的操作，就會好很多。

要想構造定義在整個流形上的東西，Cech上同調又會自然地出現，與之相伴的，還有譜序列。總之，幾何是自然給我們人類的直觀體驗，在幾何里發現好的數學，再做推廣，要比悶頭悶腦地把一般理論硬學下來舒服得多。

微分幾何：李海中教授說：微分幾何的口訣就是，用微積分的辦法研究曲線曲面論。我看微分幾何就只有一條：研究流形的彎曲。微分幾何是一門比較古典的課程，但只有學了微分幾何之后，才不會覺得黎曼幾何里定義曲率張量很人為。

Cartan和陳省身在微分幾何里發展了活動標架法，復幾何里同樣有關于向量叢上聯絡的計算，要理解它們，或者說理解“張量”這個概念是一個難點。

盡管線代里講了張量，微分流形里也講了張量，但是一旦在微分幾何或者復幾何里用起來，尤其是在物理學家那里用起來的時候，你會發現很難理解他們在干的是同一件事情（用坐標分量、用張量的語言、用活動標架法），所以可以死皮賴臉的要學長給你講清楚，如果他講不清楚，那你就知道他也沒學會這個東西。

四、大一統的理論：代數拓撲、代數幾何

我覺得很多人會覺得我把代數拓撲和代數幾何這兩門課寫成“大一統的理論”像是一個民科干出來的事情，我這里“大一統”是站在前面幾何的角度上說的。

代數拓撲把幾何里的一些代數操作抽象出來，把 系數變成 系數，所有的事情都往universal的方向上走。

代數幾何也是一樣，盡管我們經常說他是研究多項式的零點，這聽起來像是高中解析幾何，但實際上，上世紀五六十年代發展出來的概形的概念是把復幾何里的代數操作抽象出來。

代數幾何里遇到的層的上同調可以統一很多常見的上同調理論，在拓撲里學的常系數的上同調、或者群的上同調，這些都可以用層的語言來表述。

范疇論的觀點是對數學的一次革命。六字班學弟吳雨宸就特別喜歡將一切東西范疇化。這樣一來，幾百年來數學各領域的諸多概念就可以被結構性的觀點縮并起來。私以為“范疇化”這件事有改寫數學史的可能。

但對于我這種普通天賦的人來說，代數幾何和代數拓撲是不好學的。大二的時候，我嘗試過自己去看Hartshorne的《代數幾何》(Algebraic Geometry)，但是無法掌握整體的框架，也對那些省去很多細節的證明望而卻步。

徐凱學長推薦我看扶磊教授的《代數幾何》(Algebraic Geometry)，但是一個接一個的命題堆蹙在一起，我一點兒也不知道代數幾何是想干嘛。

不過現在看來，這些書都是在建立代數幾何的最最基本的語言，所以顯得像字典一樣。但我代數幾何學的還太少了，不敢再多說其他話了。（如果想獲取更多關于代數幾何的建議，建議還是問其他的學長吧！）

這學期上了孫晟昊老師的代數幾何2這門課，孫晟昊老師將Hartshorne第二三章中的細節完全補上，像對待代數小白一樣教我們，甚至比扶磊老師的書還要耐心，那時我才知道原來那些半頁紙不到的證明省去了多少不便寫在書本上的細節。

一學期學下來，也僅僅是知道了概形、層的上同調的概念，老師說，這雖然是代數幾何課的結束，卻僅僅是代數幾何的開始，我也不知道接下來該往哪兒走。

代數拓撲也很類似，我同很多人一樣，先學奇異同調。但除了會用長正合列之外，同調理論的證明、架構對于我而言都是一片模糊的，換句話說，也是被字典一樣的書給看蒙了。

最開始，我用長正合列，是不看每個箭頭的映射到底是怎么給出來的，后來才發現如果講同構而不去講同構是怎么給出來的話，很多幾何信息就被拋棄了。

從Whitehead定理和Hurewicz定理中就可見一斑，如果有單連通CW復形之間的連續映射f誘導了整系數同調之間的同構，那么f是同倫等價，而這個同構f就是至關重要的，因為有很多同調群一樣但兩個空間不同倫等價的例子。

這個學期周堅教授要我去看Bott-Tu的《代數拓撲中的微分形式》(Differential Forms in Algebraic Topology)，雖然這本書王志涵學長從我大一開始就一直推薦我去讀，但是由于我大一大二時候數學成熟度不高，同調理論不熟悉，也沒有人來點撥，導致我連一本寫得這么平易近人的教材都讀不下去。

但這學期經過一年多的同調理論的熏陶之后，總算能把這本書讀下去了。

前幾天在準備丘賽的時候，于品教授就教我們用成人的眼光，或者說用真正的理解，來看de Rham上同調。雖然此前我那些Poincare對偶相關的定理都背的很熟了，因為我看出來了它就是一個積分操作誘導的對偶，而積分這個運算可以做，就需要那些冗長的條件，但是卻不知道Poincare對偶有什么用。

于品老師帶著我們做題，他教我們用Poincare對偶來計算上同調環，微分形式的外積就對應著子流形的相交。我登時豁然開朗！雖然此前這些結論我都知道而且會證，但就是還有那一層窗戶紙沒被點破。

我也回想起來，這學期周堅教授開的復幾何課上，周堅老師用Lefshchetz超平面相交理論來講復幾何，那時因為學習態度不認真還沒理解為什么周堅說這才叫幾何，現在看來就都是Poincare對偶啊！

五、輔助性的工具：同調代數、交換代數

經過大一上只選了兩門課的空閑之后，我大一下選了代數學前沿基礎這門課，它是講模論、范疇論和同調代數的。

對那時只是自學過抽象代數的我來說，在后半學期跟上這門課非常困難，倒不是說內容很困難——都是最基本的范疇論、同調代數，而是缺乏學習的動機，老師有的時候說的pull-back方格是fiber bundle之類的話，我就完全不知道。

最后一學期下來，就感覺像在地圖上一片黑暗中亮起了一個孤零零的小塊，隨著時間的推移，我就忘得一干二凈。

交換代數也是一樣，因為學長們說學代數幾何要先知道交換代數，而我進入大二之后，抽象代數又學了很多，所以就又開始自己看Atiyah和Macdonald的《交換代數導引》(Introduction to Commutative Algebra)。

可以說是看一遍忘一遍，就跟我的實分析、復分析還有概率論一樣，沒有去使用它們，笨笨的腦子就記不住它們。

所以我現在對于這種工具類的科目，傾向于有目的性的學習，而不是一鼓作氣看一整本書的系統性學習。

要用到的時候，就去看對應的章節；等到掌握得都差不多的時候，再可以考慮從頭看一遍，梳理整體的知識。

而且大家都說看代數幾何要先看交換代數，但實際上在我們學校兩門代數幾何課上，老師會幫忙補一點交換代數的知識，并且課上只是偶爾會用到交換代數，所以我覺得我校的同學完全可以先學代數幾何，邊學邊補對應的交換代數。畢竟數學得學得開心，逼自己去看字典，如果不順心的話，就別看了。

六、數學的皇后：代數數論

我最開始接觸數論是大二下學期上扶磊老師的代數數論1，但扶磊老師第一次在清華教本科生數論課，所以只講了素數定理的證明以及賦值理論，關于代數整數環、素理想涉及甚少。

所以為了丘賽，我又去自學了馮克勤的《代數數論》的第一部分，這一部分比扶磊老師講得古典很多，但是丘賽特別喜歡考，其實也是非常重要，因為代數數論發展之初就是在看素數在更大的數域里是如何分解的。

徐凱學長推薦我看Neukirch的《代數數論》(Algebraic Number Theory) 的前兩章，但我根本無法理解Neukirch的證明中的代數細節，覺得高深莫測，現在看來確實是交換代數的成熟度不夠高，有些代數操作不能理解，應該要找學長或者老師好好扣扣細節，就會進步很大的。

大三上學期我學了陳宗彬老師的代數數論2，陳宗彬老師北大出身，思維極快，一學期的代數數論涵蓋局部域、高階分歧群、類域論、Tate thesis的完整理論。我上課完全跟不上，只能抄筆記，陳老師省略的細節也特別多，最后班上只剩下五個人。

最遺憾的就是我課后沒有去及時補上來，我那學期選了十門數學課，很多課都是課后沒有管，也就導致沒有學懂。我還是覺得一學期最多選四門數學課，這樣課后才有鉆研的時間。

上課沒能掌握，寒假就自己看了一遍Serre的《局部域》(Local Fields) 和Serge Lang的《代數數論》 (Algebraic Number Theory) ，才總算有點感覺。

后來于品老師說：你不懂就去問他，我說：感覺自己的問題會太簡單了，或者說到處都是問題，于品說：那你就叫他重新講一遍！確實，感覺自己問問題的能力差了好多，很多問題自己想不清楚，可是也不想去問老師知道答案。

這種不求甚解的風格可能來源于我們高中數學學術活動只做題而不公布題目的答案的做法，還是不太好的。

我大三上還跟著陳宗彬老師、張志宇學長等人參加了 上的local Langlands對應討論班，但除了我最開始講的 的表示之外，其他的我全都沒能聽懂。越是難的東西就越應該多花時間，我不該在選了九門數學課的情況下還參加這個討論班的。

在我大三這年，清華數學系開始了一項新計劃：數學學堂班基礎科研訓練計劃(Junior Thesis)。我選的是陳宗彬老師的“帶復乘橢圓曲線的算術”(Arithmetic of Elliptic Curves with Complex Multiplication）。

我利用寒假時間把Silverman的《橢圓曲線上的算術》(The Arithmetic of Elliptic Curves)給抄了一遍，Silverman的講法不需要知道代數幾何，對于我來說非常友好。進入大三下學期后，我開始看Silverman的第二本書《橢圓曲線算術的高等論題》(Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves)的第二章：復乘理論。

但是我發現第二本書對橢圓曲線的熟悉高了很多，我不得不重新把第一本書從頭再看一遍，邊看邊敲latex，這樣就逼著我搞明白證明的每一步，雖然是個傻辦法，但總比一目十行地看書卻吸收不了好多了，因為學東西是需要時間的。

等我敲了70頁latex后，我就已經體會到復乘理論的深刻之處了。但是我想，如果我到時候junior thesis答辯的時候只講這個復乘理論會不會太簡單了，畢竟什么論文都沒看，氣勢上輸給學弟可不好啊！所以我開始看Coates和Wiles在1977年證明帶復乘橢圓曲線上的弱BSD猜想的特殊情況。

確實原始論文太難讀了，我找到Karl Rubin在1995年寫的一篇note，于是開始啃，開始同時結合十幾篇論文一起啃。這些論文對橢圓曲線的掌握要求得太高了，非常難讀。

一度想過只想講復乘理論，但是最后陳宗彬給我規劃答辯內容的時候，叫我驗證一條特殊的橢圓曲線上的BSD猜想。我就在想，如果我連這條特殊的橢圓曲線上的BSD猜想都驗證不完的話，那我可真沒東西可講了。

于是我在答辯前三周日以繼夜地攻讀那些論文，把所有他們推廣得以致于表述極其復雜的定理全都限制到我這條特殊的橢圓曲線上。

事情慢慢就開朗起來了，很多為了推廣而作的技術性操作都變為平凡，而我就能抓住最主要的思想——那就是Birch和Swinnerton-Dyer在五十年代的那篇論文中做的計算——我也總算理解了為什么陳宗彬老師說BSD猜想是算出來的了。

反過來，知道最主要的部分后，那些技術性推廣也變得可理解了。最后6月10號那天，我做了一個非常滿意的報告，介紹了那條特殊的橢圓曲線上BSD猜想該怎么證，盡管在場的人幾乎都沒能跟著聽完全程。

七、準備丘賽

近年來全國各大高校越來越重視丘賽，誠然丘賽的結果對于各所學校來說非常重要，但是對于我們學生來說，準備丘賽的過程才是最重要的。

正如丘成桐先生在丘賽頒獎典禮上一直說的，之前我們的學生去到美國高校考不過他們的qualify，這個丘賽就是要訓練學生們的基本功。

我也一直認為，像我們這種天賦一般的同學學一遍東西是學不懂的，要做題、要梳理出成人版的知識脈絡，才有可能學懂。

剛進入大學那會兒，高中學術活動剛結束，解題思維很活躍，卓里奇上幾乎就沒有做不出來的題目。

但是隨著開始習慣于應付大學的數學作業，別人問題目也不想去認真考慮，解題能力大大下降，腦子變遲鈍很多。

大二丘賽失利后，我開始做丘賽往年的真題，能夠切實地感覺到自己的注意力越來越集中、思維越來越快。所以學弟學妹們千萬別抗拒這種應試的東西，它不像高考數學，它的題目可活了呢！

八、修習順序建議

我對傾向于代數或幾何的普通同學有如下的建議（這是接近現代數學的最基本的脈絡）：

大一：數學分析、線性代數、抽象代數、拓撲+自學流形的相關概念

大二：復分析、黎曼曲面、微分拓撲+Bott Tu的《代數拓撲中的微分形式》

大三：復幾何、代數拓撲、代數幾何

夸張點說，這應當是每個想學基礎數學的同學必須要掌握的東西。

九、附錄：課程大綱

分析類：

數學分析(1)：實數理論、極限、單變量微積分

數學分析(2)：多變量微積分、曲面上的積分

數學分析(3)：級數理論、傅立葉分析

實分析：測度論和Lebesgue積分

復分析(1)：最基本的復分析

復分析(2)：每年內容不一定，可能會講有理函數的迭代問題、雙曲度量

泛函分析：最基本的泛函分析

常微分方程：存在性、唯一性、延拓定理

偏微分方程(1)：波方程、熱方程、泊松方程的存在唯一性

偏微分方程(2)：橢圓方程、雙曲方程、拋物方程的存在唯一正則性

分析力學：Lagrange力學以及一些玄學

概率論：最基本的概率論

幾何類：

微分流形：流形的概念以及流形上常見的研究對象

拓撲學：點集拓撲、基本群、復疊空間、同調理論

微分拓撲：流形的橫截相交、逼近，Stokes定理，Poincare-Hopf定理

代數拓撲：同倫論、同調論

微分幾何：曲線曲面論

黎曼幾何：最基本的黎曼幾何

黎曼曲面：黎曼曲面的幾何與代數部分

復幾何：復流形的上同調、Hodge理論

代數類：

線性代數(1)：矩陣與行列式

線性代數(2)：矩陣的對角化

代數學前沿基礎：模論、范疇論、同調代數

抽象代數(1)：基本的群環域

抽象代數(2)：Galois理論，可能還會講有限群的線性表示

代數數論(1)：賦值理論，素數定理

代數數論(2)：每年不一定

代數幾何(1)：古典的variety

代數幾何(2)：概形與層的上同調

李群李代數：復半單李代數的表示論

群表示論：有限群的復表示、模表示