來自美國的超難奧數(shù)題思路解析

家長是孩子最好的老師

今天的題目是分?jǐn)?shù)問題，題目來自美國的一次數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)，解題所用知識(shí)不超過小學(xué)6年級(jí)。

題目（超5星難度）：

a和b都是非零的自然數(shù)，且b小于100。把分?jǐn)?shù)a/b化為小數(shù)以后，小數(shù)點(diǎn)后會(huì)不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三位數(shù)是143的情況？

輔導(dǎo)方法：

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，再由家長進(jìn)行提示性講解。

講解思路：

這道題屬于分?jǐn)?shù)問題，雖然題目非常簡短，但難度很高簡直無從下手。

要想說明可能會(huì)出現(xiàn)143，需要構(gòu)造出相應(yīng)的a/b；

要想說明不會(huì)出現(xiàn)143，需要給出嚴(yán)格的證明。

在此說個(gè)小技巧，大部分問會(huì)不會(huì)的題目，答案多數(shù)是不會(huì)，思考時(shí)要重點(diǎn)從證明的角度著手。

由于143的位置是任意的，得要辦法固定它們的位置。

因此總的解題思路是：假設(shè)會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三位數(shù)是143，看能否推出矛盾。

首先把小數(shù)化為0.143...的形式，然后利用b的范圍不大于100

步驟1：

先思考第一個(gè)問題，假設(shè)會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三位數(shù)是143，把小數(shù)轉(zhuǎn)化為0.143...的形式。

如果小數(shù)點(diǎn)后第k+1個(gè)數(shù)字起，連續(xù)三位數(shù)是143，則a/b乘以10^k后，(注：10^k表示10的k次方。)就會(huì)變成0.143…的形式。

故存在自然數(shù)m,使a/b*10^k=m+0.143…,化簡即(a*10^k-m*b)/b=0.143…。

因此存在自然數(shù)n=a*10^k-m*b,使n/b=0.143…。

步驟2：

再思考第二個(gè)問題，考慮使用b的范圍。

由于0.143 <=0.143… <0.144,故0.143 <=n/b <0.144，

兩端同時(shí)乘以1000b可得：143b <= 1000n < 144b,注意到143*7=1001，144*7=1008，

兩端同時(shí)乘以7可得：1001b <= 7000n < 1008b,

兩端同時(shí)減去1000b有：b <= 7000n-1000b < 8b。由于b>=1,故1 <= 7000n-1000b；

由于b < 100,故7000n-1000b < 800。

因此1 <= 7000n-1000b< 800。

步驟3：

綜合上述幾個(gè)問題，考慮原題目的答案。

在步驟2中得到了7000n-1000b的范圍，由于7000n-1000b=1000(7n-b)，故7000n-1000b是1000的整數(shù)倍。

但1到800之間沒有1000的整數(shù)倍，出現(xiàn)矛盾。

這是因?yàn)榧僭O(shè)的條件并不成立，

所以不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三位數(shù)是143。

思考題（3星難度）：

在十進(jìn)制下的無限循環(huán)小數(shù)a，在7進(jìn)制下還一定是無限循環(huán)小數(shù)嗎？

以上就是關(guān)于【來自美國的超難奧數(shù)題思路解析】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動(dòng)態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

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