當今比歷史上任何時候都更需要數學

當今人們認識到，科學技術的迅速發展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數學素養，現代高技術越來越表現為一種數學技術。高科技的發展、應用，把現代數學以技術化的方式迅速輻射到人們日常工作和生活的各個領域。近年來，從高端制造需要的材料科學，到物流、交通和智慧城市離不開的運籌學，到安全技術所依賴的密碼學，再到直接卡住人工智能進展的算法層的思想革新，“硬科技”在工業界的落地，處處呼喚著數學。

1、數學與計算機

改變人類生活的電子計算機出現于1940年代的美國，它的設計者是一位數學家：馮·諾依曼（John von Neumann，1903-1957）。令人們意想不到的是，數理邏輯竟成為發明現代電子計算機的先導。而計算機的出現，不僅使數學比以往任何時候都更具威力，同時也極大地改變了數學科學自身的某些特點。一方面，計算機進入數學領域，使一些以前不大受重視的數學理論重放光彩，促進了計算數學、數學模型、離散數學、數理邏輯等許多數學分支的發展，并開發了許多邊緣科學，如人工智能、圖象識別、機器證明、數據處理等；計算機開拓了一系列數學研究的新領域和新課題，改變了數學各分支之間的平衡，也促進了數學內部的統一；計算機為數學發現和證明提供了新工具。

另一方面，正如計算機給數學提供了新的機會一樣，數學也使計算機越來越具有了不可思議的威力。數學為解釋自然現象提供了構造模型的方法，也開發出運用計算機語言實現這些模型的算法，極大地提高了計算機處理問題的功能。事實上，計算機本身以及計算機的進一步開發、改進和應用都離不開數學。隨著現代數學的發展，數學既廣泛與各門自然科學相滲透，又與計算機結合直接應用于高技術，這就使得建立模型日漸成為數學的主要目標之一。

當人們面對紛繁復雜的科學技術和社會現象時，數學可以通過建立模型、分析和求解、計算乃至形成軟件等一系列方法來幫助我們把握客觀世界。計算機已經深刻地改變了世界，它對數學的影響更是這樣。例如，對素數的研究以往認為很少有實用價值，但有了計算機，卻不料它在密碼學中受到重用。計算機也影響到如何做數學，現在，人們可以利用計算機證明數學定理，各種以計算機為主要設備的數學實驗室也已經建立起來。數學研究方式的變化以及數學與以計算機為核心的信息技術相結合的研究方式和強大功力，使數學本身也越來越顯示出技術化的特征。計算機的出現和更新換代使一種新學科的出現成為可能：基于計算機仿真和模擬的實驗數學。比如：找到大素數；對加密信息的解密；天氣仿真及預報；創立分形幾何（盡管數學規律早已客觀存在，但是，如果不是借助計算機來實現可視化，Beniot Mandelbrot就不可能創立分形幾何）。再比如：交通堵塞模擬實驗，基于細胞自動化模擬的計算機仿真可以模擬交通堵塞的特征，如果車輛密度達到了某個值，堵塞就不可避免，盡管如此，原則上還存在某種方法使車輛在不混亂的境況下行駛。

2、數學與網絡

網絡無疑是現代科學技術的一項重大成就。我們以搜索引擎為例，說明網絡需要數學。先輸入關鍵詞，搜索之后，計算機上依次給出網頁的排序。那么，排序的規則是什么？答案如下：將網頁標記為｛i，j，k，…｝。若i與j之間有鏈接，則命aij＝1；否則，置aij＝0。我們得到一個非負方陣A＝(aij)。按照矩陣論的一個經典結果，非負方陣（需連通性的小條件）有最大特征根λ*、它對應于一個左正特征向量u＝｛u1，…，um｝：uA＝λ*u.這個u即為所求：取其第i個分量ui為網頁的PageRank。我們所見到的網頁就是依照ui的大小排序的。這就是Larry Page和Sergey Brin創建Google搜索引擎（1998）的數學依據。

再例如新聞自動分類：如果人工對新聞進行分類，我們必須把每一篇新聞讀懂并找出其主題，然后根據主題的不同對新聞進行分類。但計算機只能做快速計算，無法讀懂新聞。為此，我們首先要把文字的新聞變成可以計算的一組數字，然后再設計一個算法來計算出任意兩篇新聞的相似性。新聞是傳遞信息的，而詞是信息的載體，新聞的信息是和詞的語義聯系在一起的。一篇新聞由許多詞組成，有些詞表達的語義重要，有些詞表達的語義次要。顯然，含義豐富的實詞比“的、地、得”這些助詞，或者“之、乎、者、也”這樣的虛詞重要，而且，這些助詞和虛詞對新聞主題的影響幾乎可以忽略。因此，我們只需對每個實詞的重要性進行度量。我們把某個詞在網頁中出現的次數除以網頁的總詞數得到的商稱為這個詞的頻率（或稱“單文本詞頻”）。比如，如果某個網頁中一共有2000個詞，其中“函數”、“應用”分別出現了4次、10次，那么它們的詞頻分別為：0.002、0.005。

我們可以這樣來構造一組描述新聞主題的數字：對于一篇新聞中的所有實詞，計算出它們的詞頻。把這些值按照對應的實詞在詞匯表的位置依次排列，就得到一個向量。這樣，我們就可以用一個向量來代表這篇新聞，并稱為該新聞的特征向量。直觀地看，如果兩篇新聞屬于同一類，它們的特征向量在某幾個維度的值都比較大，而在其他維度的值都比較小。反之，如果兩篇新聞不屬于同一類，由于用詞的不同，它們的特征向量中，值較大的維度應該沒有什么交集。如果要定量地衡量兩個特征向量的相似性，我們可以通過計算兩個向量的夾角來判斷對應的新聞主題的接近程度。

3、數學與芯片

在芯片設計、制造的繁復流程中，每個微小差別——比如不同的組件尺寸、組件材質、元器件排布等——都可能使芯片性能產生巨大差異，所謂“失之毫厘，謬以千里”。而數學的引入，則能在仿真和模擬環節代替成本高、耗時長的真實實驗，提前預判芯片的效果。如果我們能先透過半導體數學的模擬計算，來預測某個條件下，組件所具有的物理特性，我們便能快速的找出最適合某類組件的組成系數，就能節省開發新組件所需的成本，這樣的好處在越往小組件發展所節省的成本就越明顯，可以看出半導體數學在制作過程中所占居的位置。從1969 年第一顆包含一個晶體管（Transistor）的芯片（Chip）被發明至今，短短的五十年間，技術已經可以做到把超過兩千萬個晶體管放到同一片芯片上了。

隨著半導體產業的突飛猛進，組件的尺寸越來越小，晶體管的數目越來越多，相對的研發的成本也越來越高，在此情況下，想要對每一種設計理念，包括不同的組件尺寸（Device Geometry）、組件材質（Device Material）、不同的偏壓（Bias）以及制程技術中的微影（Lithography）、參雜（Diffusion、Implantation）等，都加以實際實驗是非常不實際的，其付出的成本可以說是天文數字，因此就有人把數學引進半導體業界，主要分成組件仿真（Device Simulation）和制程模擬（Process Simulation）。但是此時就會遇到兩個無法避免的難題：（1）如何找到可以描述半導體特性的數學方程式？（2）如何找出這些方程式的真正解？目前，科學家已找到了許多描述半導體特性的數學方程，但是在求得精確解上，數學家仍束手無策，只能借由計算機得到近似解。隨著芯片制造難度的升級，工業界急需找到更優的計算方法。對于工程界有興趣的問題，現今的數學并沒有方法求得這些方程式的真正解，那怕是最簡單的Drift Diffusion Model 都沒有辦法, 更不要說是Boltzmann’s Transport Equation 或Quantum Transport Model了。

相信大家一定會覺得很奇怪，既然沒有辦法解這些方程式，那如何把數學帶進半導體產業呢？雖然數學沒有辦法解出真正的解，但借由數值方法和高運算能力的計算機，我們可以得到近似的解，只要近似解夠接近真正解，我們就可以用此近似解來當作實驗所得的數據，如此就可以把一些不良的設計在此階段就先加以剔除。但是隨著方程式的逐漸復雜化，如今連想要求得近似解的難度也越來越高了，對此我們只有期望能有新的方法來計算這些方程式，以及更快速的計算機能早日被發明出來以滿足呈爆炸性成長的計算量。

總之，在半導體組件日漸縮小的情況下，以前所被簡略的物理特性也都一一呈現出其重要性來，因此我們需要更為精確更為復雜的數學模式來替代物理實驗，其所代表的意義是在更小的區域中未知函數的變化更為復雜，想要求得精確的近似解則需要更多的計算量，進而使得仿真組件特性須要耗費更多的時間。另外，數值模擬結果必需與實驗相互驗證、比較， 因此數學、物理與工程等領域的整合也是非常重要的環節，所以半導體模擬需要非常高度的科學計算技術與扎實的基礎科學基礎。

4、數學與人工智能

機器學習是一種實現人工智能的方法。機器學習理論是與統計學、概率論、計算機科學、算法等方面交叉的領域，它產生于從數據出發的學習迭代，試圖找出用于開發智能應用的隱藏的洞見。機器學習最基本的做法，是使用算法來解析數據、從中學習，然后對真實世界中的事件做出決策和預測。與傳統的為解決特定任務、硬編碼的軟件程序不同，機器學習是用大量的數據來“訓練”，通過各種算法從數據中學習如何完成任務。機器學習直接來源于早期的人工智能領域。傳統算法包括決策樹學習、推導邏輯規劃、聚類、強化學習和貝葉斯網絡等等。機器學習最成功的應用領域是計算機視覺，雖然也還是需要大量的手工編碼來完成工作。

人們需要手工編寫分類器、邊緣檢測濾波器，以便讓程序能識別物體從哪里開始，到哪里結束；寫形狀檢測程序來判斷檢測對象是不是有八條邊；寫分類器來識別字母“ST-O-P”。使用以上這些手工編寫的分類器，人們總算可以開發算法來感知圖像，判斷圖像是不是一個停止標志牌。這個結果還算不錯，但并不是那種能讓人為之一振的成功，直至深度學習的出現。深度學習的本質還是人工神經網絡，但它使得機器學習能夠實現眾多的應用，并拓展了人工智能的領域范圍，并摧枯拉朽般地實現了各種任務，使得似乎所有的機器輔助功能都變為可能。

數學在人工智能的研發中，起到決定性的作用。上世紀70年代，計算機科學家就開始研究神經網絡在推進人工智能上的可行性。2012年之后，深度學習在“大算力+大數據”加持下獲得神速進展。深度學習成了一個人們只知其然而不知其所以然的“黑匣子”，效果顯著，卻缺乏數學理論支持。而在前沿計算機領域，數學界也顯現出興趣，并開始挑戰困擾人工智能已久的深度學習的“黑匣子”問題。丘成桐及其團隊在2017年10月發表了一篇論文，用幾何學解釋了GAN（生成對抗網絡）。這個成果將GAN與最優傳輸理論、凸幾何進行類比，使其轉化為了一個可求解的數學問題，從而為黑箱給出了透明的幾何解釋——這將有助于設計出更高效、可靠的計算方法。

5、數學與5G

華為持續在數學上投資，如在俄羅斯研究所招聘了數十名全球頂級的數學家，創造性地用非線性數學多維空間逆函數解決了GSM多載波干擾問題。使華為在全球第一個實現了GSM多載波合并，進而實現了2G、3G 、LTE的單基站Single RAN設計。華為在2008年推出的傳奇技術方案SingleRAN，是數學支撐工業應用的一個經典范例。對華為的客戶，即網絡運營商們來說，SingleRAN解決了一個剛需：在2G、3G、4G和不斷到來的通信網絡迭代中，提供同時運營多制式網絡的能力，從而讓運營商以更低成本平滑進入4G時代。借助SingleRAN，此前通信設備業務收入排名全球第四的華為力壓愛立信、諾基亞、西門子，在4G普及的2014年，一躍登上世界頭把交椅。

華為5G標準是源于十多年前土耳其Arikan教授的一篇數學論文。2010年，已投入5G研發兩年的華為發現了Arikan在2008年提出的Polar Code（極化碼）理論。相比Arikan的導師Robert G. Gallager（香農的學生）在1963年提出的信道編碼技術LDPC碼，Polar Code有理論上的優勢，但從工程學的角度來說不成熟。華為頂著風險，陸續圍繞Polar Code投入了數千人的研發資源，把Arikan的論文變成了一系列專利和技術，并使之在2016年底成為5G控制信道編碼方案——這是中國廠商第一次掌握了國際移動通信標準制定的話語權。5G時代，數學又幫華為進一步獲得了制定標準的先機。

6、數學與經濟

在傳統的社會科學領域中，經濟學是最成功地實現數學化的學科，成就令人矚目。自1969年設立諾貝爾經濟學獎以來，超過2/3的獲獎者是由于在經濟學領域運用數學方法獲得重大突破而獲獎的。微積分學、集合論、拓撲學、實凸分析以及概率論，在研究和表達經濟理論方面都起了重要的作用。很多數學家驚訝地發現，極其抽象的拓撲學最有用的地方竟是在經濟學領域。數學在經濟學中的應用，產生了包括數理經濟學、經濟計量學、經濟控制論、經濟預測、經濟信息等分支的數量經濟學科群，以致一些西方學者認為：當代的經濟學實際上已成為應用數學的一個分支。計劃經濟向市場經濟的轉化，給我國經濟生活帶來了巨大的變化，經濟行業的經營者們要對投資、貸款、市場預測、風險評估、成本、利潤、投入、產出等一系列經濟活動有很好的把握，包括信息的收集、整理分析，可以說，一個好的工商業經營者，如果他不能對經濟活動的規律作出正確的分析，那么他將難以應付復雜變化的經濟現象。而這些定量分析方法的掌握、對經濟規律正確分析的能力的獲得，都將源于對數學知識、思想方法的了解和掌握。

7、數學與現代生活

數學對整個社會發展的影響不僅僅局限在一些比較專門的領域，隨著社會的發展，現代生活處處充滿著數學。如每日天氣預報中用到的降水概率、正數、負數及表示空氣污染程度的百分數；個人和家庭在購物、購房、購買股票、參加保險等項投資活動中所采用的具體方案策略；外出旅游中的路線的選擇；選擇房屋裝修的設計和裝修費用的估算；還有對新聞媒介帶給人們的各種各樣信息的分析，這些都與數學有著密切的聯系。大眾媒體、日常生活中用到越來越多的數學概念，如緯度、統計、變化率等都成為常用的詞語。

當今人們越來越強烈地感受到對數學的依賴。人們從幼兒園開始接受思維訓練；從小學開始接受奧數訓練……在生活中，幾乎每天都會糾結手機套餐的選擇、理財產品的選擇、保險產品的選擇、購物打折方式的選擇、股票投資的選擇……在工作中，幾乎每天都會使用成本、利潤、投入、產出、貸款、效益、股份、市場預測、風險評估等一系列經濟詞匯。而這些無一能離開數學。當今社會對每個人的數學素養提出了普遍的高要求，人人都需要接受優質的數學教育