2025年BMO數學奧賽Round 1 已落幕！
為了讓同學們高效回顧考試重點
翰林在靜默期結束后，第一時間為大家準備了
BMO R1 2025年真題+視頻解析
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BMO英國數學奧賽考情分析
針對本次BMO Round 1 的考試，我們翰林數學教研組長張博士瀏覽了試卷，做了一個簡單的分析，快來看看吧！
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總體考情
BMO R1今年難度基本與去年持平，六道題目的搭配為兩道數論，兩道代數，一道幾何和一道組合。
相較去年，Q1,Q3,Q5均為數論，此外各還有一道代數（Q2，數列），一道幾何（Q4，簡單構造全等三角形），和一道組合（Q6，較難，空間構型抽屜原理），今年在板塊分布上更均衡一些。
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具體題目情況
第一題
一道涉及因數分解和簡單不定方程解的構造的數論題目，算是開胃菜。
第二題
久違的輪換對稱三元二次方程組的求解，BMO R1的經典題型，上一次考察應該是2012年了。
這次難度不高，三式相加湊一個完全平方，消掉一個未知數帶入令兩式再相減即可。
第三題
有趣的組合題目。
巧解的關鍵在于把拼圖的可能性可以對應到一個size從1*1分9步不斷增加至10*10的正方形的擴張過程的可能性，而這9步的過程又可以和每一步擴張生成的正方形的左上頂點的位置運動過程來標記：每一步擴張左上頂點有三種運動可能，分別是向左一步，向上一步和斜著沿著單位正方形對角線一步。
運動的起點坐標是（3,2），重點坐標是原點（0,0)，按斜著沿對角線走的步數分類討論即可。
AIME中也有較多類似的網格路徑可能性的問題。
第四題
涉及相似和共圓的幾何題。
歷史上BMO R1的幾何基本上是送分題，讀完題目畫好圖思路差不多就出來了，相較其他三個板塊的題目質量是比較差的。而今年的幾何難度驟升，估計會多少打仍然抱有之前歷史經驗的同學個措手不及。這道題顯然需要證明一對（或對稱的另一對）三角形相似來得到題目中的線段乘積等式。
而關鍵在利用兩個相切的條件倒弦切角（連接XB，XC），然后發現A,B,X,C四點共圓，注意到A和X點相對于B，C兩點的位置對應關系及我們希望證明相等的兩對角度，在ABM，ACM中，以及XBM和XCM中分別對稱地應用law of sine則可證得。
理論上，這道題如果嘗試用純幾的方法證明相似遇到困難，也可以硬算。AM是中線長度很好表達，而XM為兩相交圓的相交弦，兩圓半徑可以表達，圓心距拆分為水平和豎直方向距離也可以表達，相交弦長度也可以算。不過估計運算量較大對學生的三角化簡能力要求很高。
第五題
遞歸數列的問題。
根據遞歸規則計算該數列前面一些項的值后，猜測1會不斷出現并連續累計。2025的倍數起頭會先將2的因子和3的因子除干凈，最終歸結為一個25乘以一個奇數的后續生成項的討論。注意到以后序列的嚴格單調遞減性可證。
第六題
有趣的模4的數組演化過程問題，算是這次的壓軸。
分析的關鍵在于注意到青蛙獨立運動不改變自己編號模4的余數，而一次“清除”跳躍需要三個模4連續的余數，而每一次“清除”都會將一組三個模4連續的余數置換為剩下的那個余數（如（1,2,3）置換為（0），向左向右都一樣），問題變為k組四個連續模4的余數加額外的頭一個（1）或者頭三個余數（1,2,3）怎么安排“清除"跳躍序列來將原本的連續模4余數序列演變為最終連續三個模4的余數。
同時注意到每個點的位置由運動規則都是模4同余等價的（也就是一個數可以自由運動到任何一個和這個數模4同余的位置上去），計算四種“清除”跳躍執行的次數（在位置等價下順序不重要）即可。
BMO英國數學奧林匹克賽事
BMO英國數學奧林匹克競賽是UKMT旗下針對高年級中學生的比賽項目。BMO有兩輪：BMO Round 1和BMO Round 2，BMO Round 1的前10%才能參加第二輪。
在英國，只有SMC成績優秀的學生才有資格參加BMO Round 1（約1000人）。中國學生可以直接報名參加BMO Round1。
UKMT作為通往國際數學奧林匹克競賽（IMO）的重要橋梁，每年吸引全球約6000余所學校、70萬名學生的熱情參與，堪稱英國規模最大、影響力最廣泛的全國性數學競賽盛事。
與IMO的晉級關系：BMO Round1→BMO Round 2→IMO
賽事形式
考試形式：英文
考試時間：3.5小時
需要完全化簡的答案以及完整的解答過程（部分過程正確也將獲得一定的分數）
考試題型：Round 1需要完成6道解答題；Round 2需要完成4道解答題
考察內容
通常涵蓋幾何學、三角學、函數方程、代數、數論、組合數學等。
第一輪獎項設置
* 中國的參賽者將根據英國的截止分數進行評判
? 金獎 (Gold Medal)： 授予英國排名前 20 的選手。
? 銀獎 (Silver Medal)： 授予英國排名 21-50 的選手。
? 銅獎 (Bronze Medal)： 授予英國排名 51-100 的選手。
? 優秀獎 (Distinction)： 授予約前 26% 的選手。
? 良好獎 (Merit)： 授予約前 66% 的選手。
BMO第一輪晉級第二輪資格
BMO第二輪資格門檻：英國約前100名的學生可以晉級第二輪，中國學生會參照英國的分數線。
? 優秀獎 (Distinction)： 授予前 25% 的選手。
? 良好獎 (Merit)： 授予約前 48% 的選手。
接下來可以參加的數學競賽
——AIME即將開考！
AIME美國數學邀請賽是介于AMC10、AMC12及美國數學奧林匹克競賽（USAMO）之間的數學競賽，始于1983年，每年2月分兩次開賽，分別為 AIME I 和 AIME II。
參賽對象
獲得AIME參賽資格的主要途徑如下：
①在AMC10考試中排名前3-6%左右（約1000名）的學生會自動獲得邀請；10年級及以下，且在競賽當天年齡不超過17.5歲。
②在AMC12考試中排名前6-13%左右（約前3000名）的學生會自動獲得邀請；12歲及以下，且在競賽當天年齡不超過19.5歲。
考試時間
AIME報名截止日期：2026年1月27日
AIME I 競賽時間（暫定）：2026年2月6日
（限北美學生參與，國際學生不可參與）
AIME II 競賽時間（暫定）：
2026年2月12日（周四）
考試規則
考試時長：3小時
試卷語言：中英雙語
考試題型：15道填空題
每題1分，滿分15分。其中每個答案都是 0 到 999 之間的整數，答錯或不答都不得分。
AIME是邀請賽，不接受大眾形式報名，通過AMC10/12晉級分數線的考生，會自動晉級AIME，晉級考生官方會發郵件通知。
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今年官方對USA(J)MO美國數學奧賽晉級規則進行了調整，AIME權重大幅增加！
調整后的：
USAMO晉級標準：
AMC12分數 + 20 × AIME分數
USAJMO晉級標準：
AMC10分數 + 20 × AIME分數
規則調整后，AIME權重大幅增加，以前AMC10/12和AIME的成績在總分中各占約50%，但如今AIME的占比直接躍升至2/3！
在當前AIME成績重要性日益凸顯的背景下
從AMC成績出爐到AIME考試僅剩約80天！
而自分數線公布至AIME開考更不足60天！
時間緊迫，備戰AIME必須立即行動！
為助力同學們系統性學習接下來的AIME數學競賽知識，翰林特別開設AIME數學競賽【全程班、沖刺班、雙旦集訓】各類班課！滿足不同階段的學員需求！
金牌導師全程指導+系統培養競賽思維
助力學員沖刺全球前1%！
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